Morphisme de groupes

Associativité : ∀u, v, w ∈ E , ∃e ∈ E , ∀v ∈ E , 2. Élément neutre : 3. Opposé : u + (v + w) = (u + v) + w ∀v ∈ E , ∃v ∈ E , v+v =v +v =e ∀v, w ∈ E , 4. Commutativité : v+e=e+v =v v+w =w+v Ces propriétés font de (E, +) un groupe commutatif. • Multiplication externe : 5. Associativité : R × E −→ E (λ, v) −→ λ v ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , 6. Élément neutre : ∀v ∈ E , λ(µ v) = (λµ) v 1v = v 7. Distributivité (1) : ∀λ, µ ∈ R , ∀v ∈ E , (λ + µ) v = λ v

avec les applications linéaires. • Définir le produit matriciel en rapport avec la composition des applications, étudier les propriétés de ce produit et les applications. Structure d’algèbre sur n ( ). • Étudier les matrices carrées inversibles : le groupe GLn ( ). • Étudier les formules du changement de bases pour les vecteurs et les applications linéaires. • Définir le rang d’une matrice, les opérations élémentaires sur une matrice (interprétation en terme de produit matriciel). Méthodes de Gauss et

que - Nombres complexes opposés : Soit deux nombres complexes avec ; et . sont dit opposés si . Cela donne . On obtient en égalisant les parties réelles et imaginaires . Tout nombre complexe à donc opposé . On le note . On peut donc dire C est un groupe commutatif. - Nombres complexes égaux On considère deux nombres complexes avec ; . sont égaux si c’est à . Cela donne . 2.1.3. Application de l’addition dans C Soit deux nombre complexe on 2.2. La multiplication dans complexe 2.2.1. Définition A deux

⇔ ∃U, V ∈ Mn (K), A C B D = A AU V A V AU Exercice 16 [ 00698 ] [correction] Soient A ∈ M3,2 (R) et B ∈ M2,3 (R) telles que 1 AB =  0 0 a) Déterminer les rangs de A et B. b) Calculer BA.  0 1 0 Exercice 21 [ 00710 ] [correction] Soit G un groupe multiplicatif formé d’éléments de Mn (R). Montrer que les éléments de G ont tous le même rang. Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés avec A ∈ Mr (K) supposée inversible. a) Montrer que pour toute colonne Y ∈ Mn−r,1

vectoriel de dimension n et B une base L(E) −→ Mn (K) de E. Alors l’application f −→ Mat(f ) est un isomorphisme d’anneaux. B Démonstration Cette application, on l’a déjà vu, est un isomorphisme linéaire, donc une bijection et un morphisme de groupes pour l’addition. Nous avons également déjà vu qu’elle transforme les produits en produits, ici sous la forme suivante : ∀f, g ∈ L(E), Mat(f ◦ g) = Mat(f ) × Mat(g). Enfin : Mat(IdE ) = In . B 3.2 B B B Matrices inversibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Espace vectoriel 2.1 Introduction au groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Définition . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Espace vectoriel 2.1 Introduction au groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Définition . . . . . . . .

par défaut, obligatoire,etc). Figure 2 EXS représentant le concept personne A l'issue de cette étape, six opérateurs de base seront appliqués d'un schéma EXS à un autre lors des appels aux primitives de transformations qui correspondent aux morphismes entre deux entités du même domaine afin de réaliser le Mapping entre les différents éléments: ● Addition (add): permet d'ajouter une entité (concept, propriété d'un concept ou relation existante entre concepts) au schéma source. 22 Première

sont les op´rations qu’on peut effectuer sur les ´l´ments de E et les propri´t´s e ee ee de ces op´rations. e L’addition est une loi interne. Les quatre premi`res propri´t´s sont des propri´t´s de l’addie ee ee tion seulement. On dit que (E, +) est un groupe ab´lien. L’´l´ment e est appel´ l’´l´ment neutre e ee e ee pour +. Les ´l´ments u et u sont appel´s des ´l´ments sym´triques pour +. ee e ee e La multiplication par un scalaire est une loi externe. On n’a pas d´fini la multiplication de e deux ´l´ments

peine. La prévention générale selon des travaux scientifique ne marche pas seule, mais si elle comporte une certitude face à l’importance de la probabilité de la répression. La prévention est surtout une question d’éducation, d’appartenance à un groupe social, qui permet aux individus de suivre et d’intégrer un code moral. b. Prévention individuelle Comment avoir un impact efficace sur la récidive des délinquants ? Les traitement mélangeant sociale, psy, cognitif… mais pas seulement la