Modèle vectoriel

base de l'orthogonal pour b de         1 0 1 1 F = Vec  0  ,  0  , de G = Vec  1  ,  0  . 1 0 1 0 Comparer avec les résultats du cours sur la dimension de l'orthogonal. Exercice 1  Exercice 2 Soit R2 [X] l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coecients réels. Calculer la matrice dans la base (1, X, X 2 ) de la forme bilinéaire symétrique 1 (P, Q) −→ 0 P (t) Q(t) dt . Est-ce que cette forme bilinéaire symétrique est dégénérée ? Quel est son noyau

II. 1 Chapitre II : Calcul vectoriel A. Définitions et rappels 1. Notion de vecteur Imaginons une caisse posée sur le sol. Trois personnes décident de la pousser. Bougera-t-elle ? Dans quelle direction ? Tout dépend de la grandeur et de la direction de ‘l’effort’ total qui sera fait. Un moyen commode de représenter ces efforts est de les désigner par une flèche dont la longueur est proportionnelle à la grandeur de l’effort et dont la direction indique l’orientation de l’effort : nous l’appellerons

TP N°1 : Programmation de méthodes directes pour la résolution des systèmes linéaires AX=B par MATLAB ÉLABORÉ PAR : Essaied Abdel Hamid Indp1_C ANNÉE UNIVERSITAIRE: 2009-2010 Les méthodes de résolution directe TP1 Introduction: Dans ce TP on va essayer d’écrire l’algorithme de résolution d’un système linéaire sous MATLAB en utilisant deux méthodes directes : la méthode de gauss et la méthode de Cholesky. Dans la première partie on va procéder à la programmation de l’algorithme

une application F de classe C 2 de U dans R3 telle que les vecteurs (∂1 F )(u) et (∂2 F )(u) soient linéairement indépendants pour tout u de U . On a en outre W (u) = (∂1 F )(u) ∧ (∂2 F )(u) (∂1 F )(u) ∧ (∂2 F )(u) où . ∧ . désigne le produit vectoriel dans R3 . On pose K(u) = det A(u) , H(u) = 1 tr A(u) 2 où A(u) est la matrice définie à la question 4.d). On note Fi (u), i = 1, 2, 3, les composantes de F (u) ; on suppose que U contient le point 0 et on fait l’étude de la surface F (U ) au voisinage

Topologie des espaces m´triques . . . . e 2.3 Continuit´ dans les espaces m´triques e e 2.4 Compacit´ dans les espaces m´triques e e 2.5 Compl´tude . . . . . . . . . . . . . . . e 3 Espaces vectoriels norm´s e 3.1 D´finitions . . . . . . . . . . e 3.2 Applications lin´aires . . . . e 3.3 Sous-espaces vectoriels . . . 3.4 Espaces de Banach . . . . . 3.5 Le cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Math´matiques appliqu´es ` l’informatique e e a Jean-Etienne Poirrier 15 d´cembre 2005 e ∗ Table des mati`res e 1 Matrices 1.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Les diff´rents types de matrices . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 Les diff´rences de contenu . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Les diff´rences de forme . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2.3 Les diff´rences d’orientation . . . . . . . . . . . . . e 1.3 Matrices particuli`res . . . . . . . . . .

les mathématiques sont fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité

β M M O O β β L β α       EXERCICE 14. Soit A une matrice symétrique réelle à n lignes et n colonnes telle qu’il existe un entier k vérifiant Ak = In .Montrer que A 2 = In . EXERCICE 15. Vrai ou Faux. E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de nombres complexes K. Soit f un endomorphisme de E. Id est l’application identique. Donnez votre opinion sur les assertions suivantes (à justifier par une démonstration). 01. Si f 2 = f , alors f est inversible

inférieur », on appelle rang du système, le rang de la matrice associée. IV. Définition vectorielle d’un système linéaire Définition : À chaque système linéaire on associe une application linéaire définie comme suit : Où : est la matrice associée à l’application linéaire , est un espace vectoriel de dimension le nombre d’inconnues (nombre de colonnes de la matrice ), est un espace vectoriel de dimension le nombre d’équations (nombre de lignes de la matrice ), est un vecteur colonne

conditions équivalentes suivantes est vérifiée. 1. Le rang de la matrice 2. Le déterminant de la matrice Si si est strictement inférieur à . est nul : est une valeur propre, l'ensemble des vecteurs tels que , est un sous-espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres de associés à . On l'appelle le " sous-espace propre'' associé à . Remarquons qu'un même vecteur propre ne peut être associé qu'à une seule valeur propre. Par conséquent