Modèle vectoriel

e e les nombres complexes pour traiter certaines questions de g´om´trie plane. En particulier, les ´tudiants doivent e e e savoir interpr´ter ` l’aide des nombres complexes les notions suivantes de la g´om´trie euclidienne plane : calcul e a e e vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalit´, distance, mesure d’angle. e a) Corps C des nombres complexes Corps C des nombres complexes. Parties r´elle et imaginaire e d’un nombre complexe, conjugaison dans C. Le plan ´tant muni d’un rep`re orthonormal

ann´e d’universit´ sur un semestre en trois heures de Travaux e e e Dirig´s par semaine. e 1 1.1 Fonctions diff´rentiables, formule de la moyenne e Rappel Si E et F deux espaces vectoriels norm´s, on note L(E, F ) l’espace des e applications lin´aires continues de E dans F . C’est un espace vectoriel norm´ e e pour Φ = supu=0 Φ(u) . u Remarquons que sii dim E < ∞, la continuit´ est automatique. e On ´crira tout simplement L(E) lorsque F = E. On identifie L(R, F ) avec e F par Φ → Φ(1). Lorsque

1 I.Harlouchet-en eskuhartzearekin 2 i Introduction Ce cours d’algèbre linéaire se compose de 9 Chapitres. Dans le premier Chapitre on rappelle la définition et on donne sans démonstration les résultats classiques sur les espaces vectoriels et les applications linéaires (théorème de base incomplète, théorème de la dimension, etc. . .), avec en annexe une discussion de la notion d’application injective, surjective, bijective, illustrée par l’introduction des fonctions inverses des fonctions

angle au sommet du cône =11,3°). Le support de est dans le cône donc il y a adhérence. 6/4H Q21 : Isolement du verrou 3. Bilan : , et 2/3A4/3F1/3O Système en équilibre soumis à 3 glisseurs donc ils sont coplanaires, concourants et leur somme vectorielle est nulle. Résultats : A2/3 = 2500 N , F4/3 = 2750 N et O1/3= 3950 N Q22 : représentation sur figure1 DR4 Q23 : F = p . S p = F / S = H6/4 / S = 2750 / 75 = 36,66 MPa Q24 : on peut valider car 36,66 MPa &lt; 50 MPa 3ème PARTIE Q25

num´ro 2, 2007 e On identifiera de mˆme l’individu i au vecteur ei ` p composante dont le transpos´ est : e a e ei = (xi1 , xi2 , . . . , xi1 ) 5 2.1 Espace des individus Chaque individu ei sera consid´r´ comme un ´l´ment d’un espace vectoriel F (espace des indiee ee vidus). L’ensemble des n individus est un nuage de points de F dont le barycentre est le point g d´fini par : e g = (x1 , x2 , . . . , xp ), o` xp est la moyenne aritm´tique de xp . u e Le point g est appel´ parfois : point

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

variable réelle à valeurs réelles: limites, continuité, dérivées, formules de Taylor. • Mathématiques pour les sciences : Systèmes d'équations linéaires, méthode du pivot, 3 2 3 sous-espaces vectoriels de R , familles libres, bases des sous-espaces de R et R , produit 3 scalaire canonique de R , produit vectoriel, matrices 2x2 et 3x3, matrices de transformation du plan et de l'espace, déterminants 2x2 et 3x3, diagonalisation des matrices 2x2, équations différentielles linéaires à coefficients constants

P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] → P −(X−2)P ∈ R[X]. Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application lin´aire de E dans lui-mˆme telle que ϕn = 0 et ϕn−1 = 0. Soit x ∈ E tel que e e ϕn−1 (x) = 0. Montrer que la famille {x, . . . , ϕn−1 (x)} est une base de E. 2 Image et noyau Exercice 3. E1 et E2 ´tant deux sous-espaces vectoriels de dimensions fie nies d’un espace vectoriel E, on d´finit l’application f : E1 × E2 → E par e f (x1 , x2 ) = x1 + x2 . 1. Montrer

F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc une base de F c) pour tout entier n , F n commute

Repères et coordonnées Formule de la distance Coordonnées du milieu Equation réduite Propriété : Dans un repère : - Toute droite d non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : y = m x + p [1]. - Toute droite d parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme : x = k [2]. Réciproquement, toute équation de la forme [1] ou [2] est une équation de droite. Définitions : * L’équation y = m x + p ou l’équation x = k est appelée équation réduite de la droite