Modèle vectoriel

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 Suites de fonctions 2e année Calcul différentiel dans Rn 1re année 83 86 Séries de fonctions 2e année

Propriété de l’image numérique Matricielle / Vectorielle Image matricielle Elle est composée de pixels qui représentent la plus petite unité et ils sont disposés en matrice (tableau) Acquisition Appareil photo numérique Scanner Logiciel de traitement ou de dessin Dimension Elle se mesure soit en unité métrique de base comme le mètre ou le pouce soit en nombre de pixels 8,2 cm 3,2 pouces 193 pixels Rq : les dimensions en pixels dépendent de la résolution 2,0 pouces 5,1

e 22. En utilisant la question 20, nous obtenons : t F ∈Ψk X∈F \{O} max min t XAX XAX ≥ min = λk . t XX X∈Fk \{O} t XX D’autre part, pour F ∈ Ψk , on peut choisir X0 non nul dans F ∩ Vect (Ck , Ck+1 , . . . , Cn ) puisque cet espace vectoriel est de dimension non nulle. On en d´duit : e t X∈Fk \{O} min t XAX X0 AX0 ≤ t ≤ λk . t XX X0 X0 Ceci ach`ve la preuve du th´or`me de Courant et Fischer. e e e 23. Soit P orthogonale et D diagonale positive telles que t AA = t P D2 P . On

premi`re ann´e, la maˆ e e ıtrise du calcul diff´rentiel et int´gral ` une variable et de ses interventions en g´om´trie e e a e e diff´rentielle plane constitue un objectif essentiel. e En seconde ann´e, le programme introduit le concept d’espace vectoriel norm´ et d’application lin´aire continue, e e e afin de fournir un cadre coh´rent pour l’´tude des suites, des s´ries et des fonctions et celle des suites et des s´ries e e e e de fonctions. L’int´gration, la repr´sentation des fonctions, notamment

lin´aire les donn´es sont vues de mani`re abstraite comme un nuage de e e e e points dans un espace vectoriel ; les notions suivantes doivent ˆtre bien comprises e – vecteurs : produits scalaires, d´composition selon une base e – matrices : addition, multiplication, transpos´e, trace e – valeurs et vecteurs propres : d´finition, propri´t´s e ee – m´triques : d´finitions des distances dans un espace vectoriel par une norme, lien e e avec le produit scalaire Attention : les ´tudiants sont suppos´s maˆ e e

http://maths-sciences.fr Bac Pro indus CALCUL VECTORIEL - PRODUIT SCALAIRE I) Vecteurs dans le plan L’utilisation des vecteurs dans le plan facilite les travaux sur certaines grandeurs physiques. 1) Définir un vecteur - sa direction : la direction du vecteur u est la droite (AB). - son sens : le sens du vecteur u est de A vers B. - sa norme : la norme du vecteur u notée : u est la mesure de la longueur du segment [AB] 2) Réaliser la somme ou la différence de deux vecteurs Réaliser une construction

lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition : Soient E et R deux espaces vectoriels,e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E et A = (a1 , a2 , a3 )une famille de vecteurs de R alors il existe une

0 0   0 1 0 0 0 1   Pr S.Houfaidi Master Génie Logistique Rappels Mathématiques Calcul et applications des déterminants 1. déterminant d’une matrice carrée d’ordre deux 1.1 déterminant de deux vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension deux sur un corps K.   B= e1 ,e2  une base de E. Définition       Soient u  ae1  be2 et v  a' e1  b' e2 , on appelle déterminent des deux vecteurs     u et v dans la base B et on note det B (u , v ) le nombre ab’-ba’

. . . . 3.5.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Algèbre linéaire, vecteur et matrices 4.1 Déterminants et systèmes d’équations 4.2 Opérations sur les matrices . . . . . . 4.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 4.3.1 Orthogonalité . . . . . . . . . 4.4 Valeurs propres et vecteurs propres . 4.5 Triangularisation . . . . . . . . . . . 4.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . 4.6.1 Réserve . . . . . . . . . . . . 5 Interrogation de