Méthodes de Runge-Kutta

mol-1.K-1). METHODE DE RESOLUTION * Pour résoudre ces deux équations différentielles ordinaires, nous utilisons la méthode Runge-Kutta. Cette méthode d’analyse numérique permet d’évaluer par point les solutions d’un système d’équations différentielles ordinaires sans résoudre le système. La méthode s’appuie sur une évaluation des pentes à plusieurs endroits d’un intervalle donné avec des coefficients pondérés [2]. Dans notre cas, nous utilisons une méthode Runge-Kutta d’ordre 4 (RK4)

dans un premier temps implémenté sur Matlab le modèle proposé, de manière à vérifier l’allure des courbes espérées. Pour ce faire, nous avons utilisé la fonction ode45 de Matlab qui résout des systèmes d’équations différentielles à l’aide la méthode de Runge-Kutta. Figure 1 Evolution au cours du temps des concentrations selon le modèle proposé Il s’agit maintenant d’ajuster les coefficients du modèle aux données obtenues expérimentalement. Cependant, les données X, Y et Z étant corrélées, nous

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.6.1 Stabilité d'un problème physique : système chaotique . . . . . . . . . . . . 3 I.6.2 Stabilité d'un problème mathématique : sensibilité . . . . . . . . . . . . . 3 I.6.3 Stabilité d'une méthode numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Un peu d'histoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.7.1 Avant les ordinateurs : les calculateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I

. . . . . . . . . . 3 Résolution approchée d’équations différentielles du premier ordre 3.1 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergence de la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Méthode de Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Système d’équations différentielles 4.1 Généralités: . . . . .

de dilution v est la concentration effective en substrat R est le rendement de conversion de substrats en micro-organismes µ est le taux spécifique de croissance Première partie Un modèle discret du processus de fermentation (inspiré de la méthode d’Euler) est donné par les relations suivantes : ˆ ˆ Xt + 1 = Xt + (µt − ut )TXt ˆ ˆ St + 1 = St − RµtTXt + Tut (vt − St ) T est la période d’échantillonnage. µt est l’estimation du taux spécifique de croissance donné par l’algorithme d’estimation

respectivement la temps initiale (0 par défaut) et le temps final. Rentrez les temps souhaités. Les paramètres suivants définissent le type de pas de discretisation à utiliser et la méthode d’intégration. Choisissez “Fix” pour le pas et “ode4 (Runge-Kutta)” pour la méthode. Fixez maintenant la durée du pas ou bien laissez la méthode décider de façon automatique. Cliquez sur “Apply“ pour accepter vos choix puis “Close” pour fermer la fenêtre. Figure 5 : Paramètres de simulation Démarrer la Simulation

partielles) notées EDP. \textbf{En ingénierie, leur étude est essentielle pour répondre à un cahier des charges de plus en plus exigeant (performances dynamique, énergétique, etc.). L'étude des EDP, de par leur complexité, est une tâche difficile. Les méthodes d'approximation sont un moyen de simplifier la représentation des EDP et, par conséquent, leur étude.}\\ > % > Récemment, les automaticiens ont montré que cette approche est très pertinente aussi pour faire de la synthèse de lois de commandes non-linéaires

METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES cours, exercices corrig´ s et mise en œuvre en e JAVA M.A. Aziz Alaoui et C. Bertelle Facult´ des Sciences et Techniques e 25 rue Philippe Lebon - BP 540 76058 Le Havre Cedex - France 13 septembre 2002 R´ sum´ e e On pr´ sente bri` vement quelques m´ thodes num´ riques usuelles et e e e e el´ mentaires a l’usage des etudiants en fin de premiers cycles scientifiques ´e ` ´ universitaires ou de ceux d´ butant un second cycle. e .............. A REVOIR ............

puissance de calcul et l’intégration de la simulation au sein d’autres applications Méthodes de simulation Il existe plusieurs façons de classifier les simulations • Statique ou dynamique Notion d’évolution au cours du temps • Stochastique ou déterministe Notion d’aléatoire • A événements discrets ou continue Equations différentielles vs. logique événementielle Exemples d’outils et méthodes : • Runge-Kutta résolution d’équations différentielles • Monte-Carlo calcul de valeurs numériques

CHAPITRE II : MODELISATION ET SIMULATION DU CONVERTISSEUR SO2/SO3 II.1. Etude bibliographique 19 II.1.1 Les réacteurs catalytiques 19 II.1.2 Etude thermodynamique de la réaction 20 II.1.3 Etude cinétique de la réaction 23 II.1.4 Méthode de résolution 23 II.1.5 Modélisation 24 II.1.6 Calcul des pertes de charge 33 II.2. Modélisation des lits catalytiques 34 II.2.1 Modèle cinétique 34 II.2.2 Modélisation du 1er lit 35 II.2.3 Modélisation du 2ème et 3ème lit 36