Méthodes de Runge-Kutta

Recueil d’exercices Exercices pour le cours de méthodes numériques pour les É.D.O. MTH1210 Édition du 7 septembre 2011 Donatien N’dri & Steven Dufour École Polytechnique de Montréal Copyright c 2009, 2011 DONATIEN N’DRI & STEVEN DUFOUR License détaillée : http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/ca/legalcode.fr Recueil d’exercices I Avant-propos Ce recueil d’exercices d’analyse numérique est un outil complémentaire aux exercices du manuel de référence du cours, pour aider

L’utilisation de lemmes de Kirchhoff pour la mise en équations d’un circuit, même simple, conduit vite à un important système d ‘équations. Nous verrons dans un chapitre ultérieur qu’il existe des méthodes plus systématiques, et plus légères, pour la mise en équations : la méthode des mailles et la méthode des nœuds, qui constituent une remise en forme des lemmes de Kirchhoff. Mais avant de les étudier, il est utile de chercher à simplifier (au moins partiellement) les circuits étudiés, en passant

Cela impliquait ce que l'on appelait à l'époque un « cours de programmation », et qui n'était en fait que la présentation d'un langage. On en décrivait les instructions, leurs effets dans tous les cas possibles, la façon de les rédiger. La seule méthode de programmation connue était l'empirisme : – dessiner un organigramme – aligner les instructions correspondantes – passer en machine et chercher les erreurs. On avait dans des bacs à cartes des « programmes d'analyse » fournis par le constructeur

résout rarement un système linéaire en calculant Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Systèmes linéaires Ax=b : méthodes directes Formules de Crammer Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique. Méthode du pivot de Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme à une complexité en . 3 À la kème étape : pour

courbes Il suffit de spécifier autant de couples (abscisses, ordonnées) qu'il y a de courbes à tracer. Par exemple pour superposer sin et cos : >> plot(x,cos(x),x,sin(x)) [pic] Les deux courbes étant en réalité dans des couleurs différentes. Cette méthode fonctionne même si les abscisses des deux courbes ne sont pas les mêmes. Dans le cas plus fréquent où les abscisses sont les mêmes, il existe un autre moyen de superposer les courbes. On a toujours le vecteur des abscisses, commun aux deux courbes

RÉFÉRENTIELS UTILISÉS EN MÉCANIQUE TERRESTRE 204 SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS © Hachette Livre – H Prépa / Mécanique, 1re année, MPSI-PCSI-PTSI – La photocopie non autorisée est un délit. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE 225 ANNEXE : LA MÉTHODE D’EULER PROBLÈME : MOUVEMENT À TROIS CORPS 263 INDEX 4 259 269 Cinématique ■ Repérage d’un événement dans l’espace et dans le temps. © Hachette Livre – H Prépa / Mécanique, 1re année, MPSI-PCSI-PTSI – La photocopie non autorisée

partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. – Le principe de descente infinie de Fermat : il n’existe pas de suite de N strictement décroissante. – L’axiome d’Archimède : ∀a, b ∈ N∗ , ∃n ∈ N∗ , na > b. Savoir-faire – Identifier la méthode de raisonnement la plus appropriée à utiliser (syllogisme, double implication, contraposée, absurde, récurrence – faible, forte, descendante –, etc.). – Dessiner des diagrammes pour mieux visualiser les ensembles ! – Prouver que l’ensemble des ensembles

véhicule, l’interaction entre le véhicule et les différents types de chaussées et la vitesse du véhicule. Ce modèle est validé sur des mesures in situ. En plus, on présente des mesures effectuées en coopération avec CETE- Nord Picardie sur une méthode d’isolation. L’efficacité de plusieurs dispositifs d’isolation généralement étudiés dans la littérature est analysée. Ces dispositifs comportent : les tranchées, les blocs en surface et les blocs enterrés (WIBs). [V] ABSTRACT Traffic induced

d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe I : Méthodes approchées de résolution Annexe II : Le pendule de Foucault Annexe III : Couplage mécanique Annexe IV : Couplage électromagnétique Annexe

Notre présentation sera jalonnée de travaux algorithmiques et de références à nos notes de travail, réalisés dans le cadre de notre thèse de Doctorat - voir en Annexe I, la présentation générale du projet. RÉFÉRENCES ALMON C., (1967), Matrix Methods in Economics, Reading (Mass.), Addison-Wesley, 164 p. ARTUS P., DELEAU M., MALGRANGE P., (1986), Modélisation macroéconométrique, Paris, Economica, Coll.Economie et statistiques avancées, 283 p. BRILLET J.L., (1994), Modélisation économétrique