Algorithmique Numérique TP N° 1
Systèmes d ’équations différentielles

Introduction
Le comportement de chaque composé au sein d’un bioprocédé est exprimé par une équation différentielle du premier ordre reflétant les taux de dégradation et de formation. Ces équations différentielles résultent d’études et d’expériences effectuées en laboratoire. Le processus de fermentation que nous étudions est décrit par le système d’équations différentielles suivant :

dX = (µ − u )X dt dS = − RµX + u (v − S ) dt
Où : X est la concentration en micro-organismes appelée biomasse S est la concentration en substrat (éléments nutritifs) désirée u est le taux de dilution v est la concentration effective en substrat R est le rendement de conversion de substrats en micro-organismes µ est le taux spécifique de croissance

Première partie

Un modèle discret du processus de fermentation (inspiré de la méthode d’Euler) est donné par les relations suivantes :

ˆ ˆ Xt + 1 = Xt + (µt − ut )TXt ˆ ˆ St + 1 = St − RµtTXt + Tut (vt − St )
T est la période d’échantillonnage. µt est l’estimation du taux spécifique de croissance donné par l’algorithme d’estimation suivant :

ˆ ˆ ˆ µt + 1 = µt + kt Xt + 1 − Xt + 1 kt = k 1TXt 2 1 + (TXt )

(

)

(avec 0 < k1 < 2)

Afin de simplifier la simulation, nous utiliserons le taux spécifique de croissance donné par la loi suivante (loi de Monod) :

µt + 1 =

µmSt ks + St

(ks et µm sont des constantes)

Première partie

Mettre en œuvre une simulation du processus décrit précédemment. Les paramètres utilisés pour la simulation seront les suivants : ks = 30 S0=60 R=6 Umax=1.0 µm =1.0 X0=10 T=0.2 Vmax=120

Vous présenterez vos résultats sous forme graphique comme le montre, par exemple, la figure ci-contre.

Deuxième partie
Nous étudions toujours le même processus mais la simulation à réaliser s’appuie maintenant sur la méthode de Runge-Kutta. Dans notre cas : X t+1 = X t + (T / 6) (H 1+ 2H 2+ 2H 3+ H 4) avec : H 1 = ( µ