Matrice nilpotente

le paramètre a pour que le déterminant de la matrice [pic]soit nul. Soit a un réel quelconque et A la matrice.                                     [pic]     - Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle non inversible ? Soient les matrices A et B suivantes :                                             [pic] Existe-t-il des couples (a, b) de nombres réels tels que les matrices A et B soient inverses l'une de l'autre ? Soient les matrices A et B suivantes :                                                

(capacité) lij  xij  d ij (i, j )  E • La matrice correspondant aux contraintes de conservation de flot est dénoté matrice d’incidence sommets-arcs: ligne i ↔ sommet i colonne (i, j) ↔ arc (i, j) ligne i ligne j • La matrice d’incidence sommets-arcs jouit de la propriété d’unimodularité qui fait que l’algorithme du simplexe génère une solution entière pour le problème (FMC) lorsque lij, dij et v sont des entiers. • Exemple de matrice d’incidence pour le réseau 2 1 3 4 1 x12

Exercice 2 1 e 2.1 Calcul de la puissance n`me de A. 1. Comme B= µ 3 −6 1 −2 ¶ et C = µ 2 −6 1 −3 un calcul rapide et sans commentaire particulier donne que : ¶ BC = CB = 0M2 (R) (1) Notez bien que les matrices B et C commutent. 2. _ • Montrons que la proposition Pn :"B n = B" est vraie pour tout entier n non nul. — L’initialisation est bien vérifiée car : B1 = B — Supposons que la proposisiton Pk soit vraie pour tout k ∈ [|1, n|] , n fixé dans N∗

matriciel 1.1 1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Transposée d'une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 re CD – math I – Géométrie analytique GEOMETRIE ANALYTIQUE Table des matières A) Systèmes linéaires ………………..…..……………………….. page 2 1) Définitions ……………...……………………………….…. page 2 2) Résolution d’un système linéaire par substitution …….…... page 2 3) Règle de Cramer …………………….…………….………. page 5 B) Géométrie analytique dans le plan (rappels)………………… page 9 1) Repères du plan ………………..………………………….. page 9 2) Calcul vectoriel dans un repère du plan …………………… page 9 3) Equations

dans laquelle on le calcule. Proposition 5 : On a : i/ det (IdE ) = 1: ii/ 8u; v 2 End (E) : det (u v) = det u: det v: iii/ 8u 2 End (E) : u inversible ssi det u 6= 0, et dans ce cas : det u 1 = (det u) 1 Preuve : II-2 Déterminant 0 d’une matrice carrée 1 a11 a12 ::: a1n B : C B C C 2 Mn (K), les colonnes de A représentent des B Soit A = (aij ) = B : C @ : A an1 an2 : ::: ann vecteurs c1 ; c2 ; :::; cn de Kn repérés relativement à sa base canonique Bc = (e1 ; e2 ; :::; en ) ;

................................................................ 4 Définition d’un système de Cramer ........................................................................................................... 4 Résolution par l’inversion de la matrice du système ................................................................................. 5 Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................ 6 II-2 Résolution

10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 B) MATRICES E,F et G désignent toujours des K-espaces vectoriels. RAPPELS : une matrice A à n lignes et p colonnes (ou de format (n, p)) à coefficients dans K est une application de [|1, n|] × [|1, p|] dans K ; pour (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, p|] , A (i, j) est souvent noté de façon indicielle aij , de sorte que A est notée (aij )1 i n ; 1 j p j     a11 a12 a1p a1j  a21 a22   a2p  ... = i   on la représente aussi par le tableau

Exercices - Matrices : corrigé Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math Sup On peut effectuer les produits AC, AE, BA, CB, CD, DB, DD, EC, EE. Seules les matrices D et E sont carrées, et seule la matrice D est symétrique. Exercice 2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls

équations et les systèmes d’équations. Il est possible d’entrer certaines fonctions ou certaines expressions à partir de modèles (/r) comme nous allons le voir pour les systèmes d’équations, mais également plus loin pour les intégrales, les dérivées, les matrices… Résolution d’une équation - dans le corps des réels - dans le corps des complexes solve(eq, var) var) Touches b31 Touches b3A1 cSolve(eq, La fonction solve retourne un résultat sous forme d’une, ou plusieurs égalités séparées par or