ECRICOME 2007 − Voie Technologique − Correction

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Correction Ecricome 2007
Voie technologique
La correction comporte 10 pages.

Exercice 1
1.1 Etude d’une fonction g auxiliaire
1. _
(a) Soit P la fonction polynomiale définie sur R par P (x) = 3x3 − x − 2. Comme P (1) = 0 et
P 0 (1) = 8 6= 0 puisque P 0 (x) = 9x2 − 1. Ainsi :
P est factorisable par x − 1
(b) Nous pouvons donc écrire que :
¡
¢
P (x) = (x − 1) ax2 + bx + c
¢
¡
= (x − 1) 3x2 + bx + 2 en identifiant le coefficient de x3 et la constante
¢
¡
= (x − 1) 3x2 + 3x + 2 en identifiant le coefficient de x2 à b − 3 dans P (x)
Conclusion :

Q (x) = 3x2 + 3x + 2
(c) Comme le discriminant de Q est strictement négatif, Q est donc strictement positif et P (x) est uniquement du signe de x − 1.
Conclusion :
P (x) ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 1
P (x) < 0 ⇐⇒ x < 1
2. Tout d’abord g est dérivable sur R∗ en tant que somme de fonctions dérivables sur R∗ avec :
+
+
∀x ∈ R∗ , g 0 (x) = 3x2 − 1 −
+
=

2 x 3x3 − x − 2 x 3. Le signe de g 0 (x) est de celui de P (x) puisque x est strictement positif sur R∗ ainsi :
+
g est strictement croissante sur [1, +∞[ g est strictement décroissante sur ]0, 1]
4. Selon les variations de g sur R∗ et comme g (1) = 3 > 0 alors :
+
∀x ∈ R∗ , g (x) > 0
+

25 avril 2007

Concours 2007

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1.2 Etude d’une fonction g auxiliaire
1. _
(a) Nous avons : lim f (x) = −∞

x→0+

Car :
• lim+ (x + 1) = 1 x→0 • lim+ (x − 1 + ln x) = −∞ x→0 • lim+ x2 = 0+ x→0 et donc :

la courbe représentative de f notée Cf admet une asymptote verticale d’équation x = 0
(b) Nous avons : lim f (x) = +∞

x→+∞

Car :
• lim (x + 1) = +∞ x→+∞ •

x − 1 + ln x
= 0+ du fait que : x2 1 x − 1 + ln x
∼
+∞ x x2 car ln x = o (x − 1) par croissances comparées. lim x→+∞

+∞

(c) Comme au voisinage de +∞ : f (t) = x + 1 + ε (x) x − 1 + ln x et lim ε (x) = 0 nous pouvons dire que la courbe