Limite d'une suite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Arithm´tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Analyse 1. Nombres complexes, fonctions trigonom´triques . . e 2. Formules de Taylor, d´veloppements limit´s . . . . e e 3. M´thodes de calcul int´gral . . . . . . . . . . . . . . e e 4. Suites et s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5. Quelques m´thodes pour les ´quations diff´rentielles e e e . . . . . . . . . . . . . . . . .

Définition (Ensemble limite). Soit x un élé- ment de Ω ; l’ensemble limite de x noté ω(x) est défini par : ω(x) = ⋂ t≥0 {φs(x), s ≥ t} La notation ω signifie que l’on regarde l’ensemble li- mite de x vers les temps positifs, pour les temps néga- tifs on aurait mis un α, conformément à l’orientation

devraient atteindre, comment se comporter selon la situation, les conditions et les limites du jeu, ici politique et juridique . La constitution est alors perçue telle la règle de ce jeu politique, c’est elle qui est donc en charge d’organiser les conditions de dévolution (passage du pouvoir d’une personne à une autre), et celles de l’exercice du pouvoir. C’est elle qui limite les pouvoirs de l’Etat pour que les libertés et les droits du citoyen soient

(0,75 pt) b un = ( 1 + sin ( nπ 2 )) 1 n . (0,75 pt) 2 étudier la nature de la suite (un) dans les cas suivants : a un = 1√ n E( √ n), (0,75 pt) b un = an − (−a)n où a ∈ R. (0,75 pt) Correction 1 Calculons les limites sup et les limites inf des suites suivantes : a un = (−n)−n = (−1)−n×n−n = (−1)n× 1 nn . La suite de terme général (−1)n est bornée et lim n→+∞ 1 nn = 0, donc la suite ((−n)−n) est convergente et sa limite est égale à 0. On a alors, lim (−n)−n = lim (−n)−n = 0. b Soit un = ( 1 + sin

SPE 1) Pourcentages Pour calculer les t % d'une quantité a, on effectue le calcul a × t 100 a × 100 b Le pourcentage qu’une quantité a représente par rapport à une autre b, vaut t  t    Une quantité x augmentée de t% vaut y = x  1 +  . Une quantité x diminuée de t% vaut y = x  1 − .  100   100  La quantité 1 ± t est appelée coefficient multiplicateur 100 Valeur finale-Valeur initiale × 100 On obtient le pourcentage de variation d’une quantité en effectuant le calcul Valeur

0,4vn Donc la suite vn  est géométrique de raison q   0,4 la réponse b) est la bonne réponse. 2) Nous sommes en présence d’une suite géométrique de raison q  1,05 et terme initial 148 000 La facture de gaz de l’an 2011+ n est alors donnée par 148 000  1,05 ; l’année 2011 étant l’année zéro n n La question se traduit par l’inégalité 148 000  1,05  200 000  1,05  1,35 A la calculatrice on obtient n  7 c’est-à-dire à partir de l’année 2018. n u0  4 3) C’est une suite géométrique de

la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1 Généralités sur les séries numériques. Soit fUn gn2N = fU0 ; U1 ; U2 ; :::; Un ; :::g une suite in…nie de nombres réels Dé…nition 2.1 L’expression de la forme U0 + U1 +

22 mars 2001 CVS : $Id: infinity.tex,v 1.9 2001/03/22 20:31:29 david Exp $ http://www.eleves.ens.fr: 8080/home/madore/math/infinity.pdf Avant-propos : Le pari assez ambitieux tenté ici est d’évoquer de façon générale « l’infini en mathématiques » d’une façon suffisamment synthétique pour être accessible aux non-spécialistes sans pour autant être ennuyeuse pour les experts ; de surcroît, on espère le faire avec assez de rigueur pour que le mathématicien s’estime satisfait, mais éviter néanmoins que

(unit´es graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe des ordonn´ees). Partie I 1. D´eterminer les limites de en ·½ et ¼. 2. Calculer ¼´Üµ en fonction de Ü. Montrer que ¼´Üµ a le mˆeme signe que ln Ü ´¾ ¹ ln ܵ. D´eterminer le sens de variation de sur ¼ ·½ . 3. Tracer la repr´esentation graphique 4. On pose pour Ô ½ ÁÔ ¾ ½ de dans Ç     . ln ÜµÔ dÜ Ü¾ ´ ` l’aide d’une int´egration par parties, calculer : Á½ a) A ¾ ln Ü dÜ Ü¾ ½ b) Prouver, en effectuant une int´egration par

mais aussi préparer votre éventuelle entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12