Limite d'une suite

LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 | |De manière plus mathématique : | |Si «  u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit que |

Notions de limites 4. Synthèse Dans cette séquence, il s’agit d’une part d’approfondir la notion de suites numériques permettant la modélisation d’un certain nombre de phénomènes discrets et d’autre part, à travers l’étude des limites de suites, de préparer la présentation des limites de fonctions. Séquence 1 – MA02 1 © Cned - Académie en ligne 1 Pré-requis A Généralités sur les suites 1. Généralités a) Définition et notations Définition On appelle suite numérique

est surjective : plusieurs éléments ont la même image Si f est injective : certains éléments n’ont pas d’image Proposition : si f est bijective alors ce sont des fonctions identités  : B→A et A→B  B → B  : A → B et B → A  A → A 3 Fonctions d’une variable 3.1 Nombres réels et topologie sur IR 3.1.1 Propriétés algébriques de IR Proposition : Les réels additionnés ou multipliés sont commutatifs 3.1.2 Bornes, ensembles majorés et minorés Définition : un ensemble de réels est minoré ssi

Définitions : Définition 1 : Soit u n  une suite. 1. La suite u n  est majorée s’il existe un réel M tel que u n ≤M pour tout entier n. 2. La suite u n  est minorée s’il existe un réel m tel que u n ≥m pour tout entier n. 3. La suite u n  est bornée si elle à la fois majorée et minorée. Remarque 1 : Soit une fonction f majorée (resp. minorée, bornée),  Si la suite u n  définie par u n = f n  existe alors elle est majorée (resp. minorée, bornée).  Si une suite  v n  vérifiant v n1= f  v n 

Suites | Chapitre 1 : Généralités sur les suites I – Suite arithmétique a. Définition par récurrence r = raison n = entier naturel Suite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante. La différence est la raison. b. Terme général Uo = premier terme de la suite p et m = entiers naturels Sommes des premiers entiers consécutifs : II – Suite géométrique a. Définition par récurrence q = raison n = entier naturel

I. Comportement d’une suite numérique 1. Suites majorées, minorées, bornées Définitions :    Soit une suite définie sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée

SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici. n Un 50 500 1000 5000 10000 12000 Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U

Définition de la limite d’une suite 7 1. 16. STL France, Juin 2006 7 1. 17. Suite récurrente 1 8 1. 18. Suite récurrente 2 10 1. 19. Suite récurrente 3, Pondicherry 2003 10 1. 20. Suite récurrente 4 11 1. 21. Suite récurrente 5 11 1. 22. Suite récurrente 6 11 1. 23. Suite récurrente 7, Haddock 11 1. 24. Suite récurrente 8, Antilles 2003 12 1. 25. Suite récurrente 9, Syracuse 13 1. 26. Suite récurrente 10, EFREI 2001 13 1. 27. Suite récurrente 11, homographique 14 1. 28. Suite récurrente 12, La Réunion

u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c’est donc une partie fermée. Inversement, si u n’est pas continue alors l’application u n’est par bornée sur {x ∈ E/ x = 1}. Cela permet de construire une suite (xn ) ∈ E N vérifiant xn = 1 et u(xn ) > n. 1 En posant yn = u(xn ) xn , on obtient une suite (yn ) ∈ AN vérifiant yn → 0. Or 0 ∈ A. donc la partie A n’est pas fermée. / Exercice 4 : [énoncé] Soit A ∈ Rp . La matrice A possède un déterminant extrait non nul d’ordre p. Par continuité du déterminant

Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N