Limite d'une suite

Problèmes de Mathématiques MPSI Erwan Biland Lycée Stanislas, classe de MPSI 1, 2009/2010 Ce recueil réunit une partie des problèmes posés aux élèves de PCSI 1 puis MPSI 1, en temps libre ou en temps limité, depuis 2005. J’y puiserai les devoirs que vous aurez à traiter cette année en temps libre (par groupes de deux). C’est aussi un outil mis à votre disposition pour votre travail personnel, en particulier lors de la préparation des devoirs surveillés. Malgré les nombreuses correction déjà

SUITES SESSION 1999 Antilles-Guyane septembre 1998 (5 points) On consid`re la suite (un )n e 0 Terminale ES (Sp´cialit´) e e d´finie par : e   u0 = 1 1 = un + 1. 2 1. Calculer u1 , u2 et u3 . − → → − 2. Dans le plan rapport´ a un rep`re orthonormal (O; i , j ) d’unit´ graphique 4 cm, tracer la droite (D) d’´quation e` e e e 1 e y = x et droite (D ) d’´quation y = x + 1. En utilisant (D ) et (D), repr´senter sur ce graphique les points P, e 2 Q, R, S, T, U, V, de coordonn´es respectives

2. Étude d'une suite. On considère la suite (un) définie par : un = a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver que (un) est majorée. (i) Démontrer que : n 1 k! k =0 n un 1+ 1 2 k −1 k =1 1 2 n n (ii) Démontrer que : k =1 1 2 k −1 = 2 1− (iii) En déduire que (un) est majorée par 3. d. En déduire que la suite (un) converge. (On ne demande pas de calculer sa limite) 3. Étude

Terme g´n´ral d’une suite arithm´tico-g´om´trique. e e e e e - Terme g´n´ral d’une suite r´currente lin´aire du deuxi`me ordre (admis). e e e e e - Exemples d’´tude de la monotonie d’une suite r´currente. e e III. Limites de suites - Suites convergentes, suites divergentes - Propri´t´s, op´rations sur les limites ee e - Th´or`mes de passage ` la limite e e a - Th´or`me des encadrements e e - Suites extraites et convergence. IV. Th´or`mes d’existence de limites e e - Th´or`mes

Enfin, on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme

HAKAM Email : s-hakam@fsr.ac.ma Année 2003-2004 1 Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1 Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites. Plan du chapitre : 1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations

Vn ; (3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente. Démontrer alors la proposition suivante : « Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ». Partie B On considère une suite (Un), définie sur dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite Vn = Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse

dénommé quelquefois " auditeur" , dont la mission est de contrôler l'opportunité d'un projet ou la conformité à la loi, d'un acte ou d'une série d'actes juridiques et d'en faire rapport. Merle (Ph.), ,Mercier (A .),Flahaut-jas son (C l.), A udit et commissariat aux comptes , 2003,éd.Françis Lefebvre. A- ESSAI DE DÉFINITION DE LA FONCTION D’AUDIT –suite- 2ème définition: Processus méthodique, indépendant et documenté permettant de recueillir des informations objectives pour déterminer

ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes, produit scalaire, ´quations diff´rentielles, . . . ). e e e e Les deuxi`me et troisi`me parties correspondent ` un d´coupage classique entre l’analyse et ses applications e e a e g´om´triques d’une part, l’alg`bre et la g´om´trie euclidienne d’autre part. e e e e e ´ ´ PROGRAMME DE DEBUT D’ANNEE ´ ´ ´ ´ I. NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE ELEMENTAIRE 1- Nombres complexes L’objectif est de consolider et d’approfondir les notions sur les nombres

exceptionnels comme une Révolution ou un Coup d'Etat; comme ce fut le cas entre 1791 et 1804 avec une multitude de régimes qui se sont enchainés l'un après l'autre. Quant au pouvoir constituant dérivé, il est créé lui-même par la Constitution; il dispose d'une compétence de révision de la Constitution, qui doit obéir à des conditions de forme (procédure pour réviser la Constitution) et à des conditions de fond (portée de la révision envisagée). Cette notion est à mettre en parallèle avec la notion de "révision