Les Nuls

5) Intersection entre { et : { Il vient alors : { il s’agit { { { ( . ) Exercice 5 3,5 points 1) Soit m un réel et soit a. Les réels et la droite d'équation : . ne peuvent pas être simultanément nuls : pour toute valeur de b. La droite passe par si Par suite, la droite passe par si ou . Pour , est parallèle à l’axe des abscisses. Pour c. Le vecteur est un vecteur directeur de , le vecteur ⃗ , l’ensemble est donc bien une droite

6 On dit que deux secteurs orientés non nuls, non tour, ont même orientation lorsqu'il existe une translation suivie d'une rotation transformant la première frontière de l'un dans la première frontière de l'autre de telle sorte que l'image de l'un des secteurs non orientés est incluse dans l'autre ou que l'un est inclus dans l'image de l'autre. On peut montrer que l'on obtient ainsi une relation d'équivalence dans l'ensemble des secteurs orientés non nuls, non tour. On a alors deux classes O1 et

Réussite français 1re L, ES, S / Broux, Nathalie Paris : Nathan, 2010 Français : lycée / Brunel, Pierre Paris : Presses de la Cité, 2004 Bonnes copies technique du résumé et de discussion / Désalmand, Paul Paris : Hatier, 1993 Le bac français pour les nuls / Guilleron, Gilles Paris : First Editions, 2008 Réussir la dissertation littéraire : analyser un sujet et construire un plan / Adam, Françoise Paris : Nathan, 2002 Le résumé de texte / Anglard, Véronique Paris : Seuil, 1998 La dissertation littéraire

=  1 −1 −2 −1 1 2   3. A =  1 1  , 0 3   B= −1 1 0 1 2 1 0 0 Exercice 3 - Commutant - L1/Math Sup a b . Trouver toutes les matrices B ∈ M2 (R) 0 a qui commutent avec A, c’est-`-dire telles que AB = BA. a Soient a et b des r´els non nuls, et A = e 1 1 1 1 0 0      On consid`re les matrices A =  0 1 1 , B =  0 1 0  et C =  e 3 1 1 1 0 0 Calculer AB, AC. Que constate-t-on ? La matrice A peut-elle ˆtre inversible ? e les matrices F ∈ M3 (R) telles que AF = 0 (o` 0 d´signe la

1ère ST I GC2 Outils de calcul Fiche n˚3 FRACTIONS, PUISSANCES, RACINES CARRÉES I Les fractions ✬ Rappels : chaque dénominateur étant non nuls, on peut écrire : a b a±b ± = c c c a c ad ± bc ± = b d bd ac a c × = b d bd ✫ a b = a × d = ad c b c bc d exemple =⇒ exemple =⇒ exemple =⇒ exemple =⇒ ✩ 2 7 2−7 −5 − = = 3 3 3 3 3 2 3×3 2×8 9 + 16 25 + = + = = 8 3 8×3 3×8 24 24 −3 1 −3 × 1 −3 × = = 5 7 5×7 35 1 4 =1×9= 9 7 4 7 28 9 ✪ EXERCICE no 1 Donner l’écriture des nombres suivants

Soient a et b deux entiers relatifs, b etant non nul. On dit que b divise a si et seulement si il existe un entier relatif k tel que a = kb. Se note a|b. Proprietes. • Pour tout entier relatif non nul a, a|a. • Pour tous entiers relatifs non nuls a, b et c, si a|b et b|c alors a|c. • Soient a, b et c trois entiers relatifs, a etant non nul. Si a|b et a|c, alors pour tous entiers relatifs & et !, a|(&b+!c). 2/Division euclidienne dans Z. Soient a et b deux entiers naturels, b etant non

− aij x j fait somme xi ← aii Gauss Fonction x = Gauss(A,b) U,c = descent(A,b) x = triang(U,c) Remarques Choix du pivot : minimiser les erreurs d’arrondis si un pivot est nul, on permute deux lignes si tous les pivots restant sont nuls la matrice est singulière (i.e. le système d’équations n’admet pas de solution unique) pour minimiser les erreurs d’arrondis : on choisi le plus grand pivot possible (en valeur absolue) et donc on permute les lignes (voir les colonnes associées)

premier tour 22 avril 2012 second tour 6 mai 2012   % des inscrits % des votants   % des inscrits Inscrits 46 028 542     46 066 307   Abstentions 9 444 143 20,52   9 049 998 19,65 Votants 36 584 399 79,48   37 016 309 80,35 Nuls 701 190   01,92 2 154 956   Suffrages exprimés 35 883 209   98,08 34 861 353     Ministère de l'Intérieur (site Internet)   premier tour 22 avril 2012 second tour 6 mai 2012 voix % des inscrits % des exprimés voix %

éléments de la forme 7 Définitio Une matrice triangulaire supérieure n: (inférieure) est une matrice carrée dont tous les éléments sous (au dessus) la diagonale principale sont nuls. 8 Définitio Une matrice identité est une matrice carrée n: dont les éléments de la diagonale principale sont tous 1 et les autres sont tous nuls. 9 Définitio Une matrice symétrique est une matrice n: carrée qui est symétrique par rapport à la diagonale principale. C’est-à-dire que . 1 Définitio Une matrice anti-symétrique

2 - Des calculs de produits - L1/Math Sup 1. Puisque A et B sont deux matrices carrées de même ordre, les deux produits AB et BA sont possibles. On trouve : AB = 0 0 0 0 , 0 0 0 0 BA = . En particulier, AB = BA = 0 alors que ni A ni B ne sont nuls. 2. Le produit AB n’est pas défini car A a trois colonnes et B deux lignes. Pour BA, on trouve −1 2 1 BA = . −1 −5 −3 3. Le produit BA n’est pas défini. En revanche, on a   3 3 0 1   AB =  1 2 0 1  . 6 3 0 0 Exercice 3 - Commutant - L1/Math