Les Nuls

résultats sont proclamés : Dans les Alpes-Maritimes : Inscrits : 30 712 votants : 25 933 abstentions : 4 779 Oui : 25 743 Non : 160 Nuls : 30 À Menton-Roquebrune (un canton) : Inscrits : 1 120 Exprimés :889 Oui : 833 Non : 54 Nuls : 2 Les suites du plébiscite 13 mai - Le vote des militaires parvient à Nice (oui : 1 648 - non : 188 - nuls : 23). 29 mai - La Chambre des députés sarde ratifie le traité de Turin. 11 juin - Le traité de Turin est ratifié par le Sénat sarde.

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel

NOMBRES ENTIERS ET PGCD I. DIVISEUR D’UN ENTIER NATUREL a) Définition Si on a deux entiers naturels a et d non nuls, alors : d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier k tel que a=d ×k Ainsi, k est aussi diviseur de a. En clair : 4 est-il un diviseur de 12 ? 12 = 4×3, donc 4 est bien un diviseur de 12. b) Remarques Pour tout nombre entier naturel n on a : 1×n = n On en conclut que 1 est un diviseur de n’importe quel nombre entier naturel. Et tout nombre entier naturel est un diviseur

inconnues. A. Généralités sur le système linéaire I. Définition d’un hyperplan affine (Équation linéaire à inconnues) Définition : Un hyperplan affine est représenté par une équation de type : – où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension dans . EXEMPLE : La notion d'hyperplan est confondue avec celle  d’une droite dans le plan  d’un plan dans l’espace . Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions

bien sur l’addition est associative : Et pour la multiplication, elle est bien sur associative : (Ne pas oublier que ) De même pour … même résultat La multiplication est munie d’un élément neutre qui est 1 et tous les nombres non nuls admettent un inverse. On cherche tel que Si on a et alors on résolve (on cherche b) Et alors Et si , l’inverse de est d’où l’inverse de est si et l’inverse de L’ensemble ainsi construit a bien les mêmes propriétés

est la matrice de n,p ( ) dont tous les coefficients sont nuls, celle-ci est notée On,p . Lorsque p = n, la matrice On,n est notée simplement On , c’est la matrice nulle de n ( ). • Matrice unité : la matrice unité de n ( ) est la matrice carrée de taille n, notée I n et définie par I n = (δi, j )1 i, j n , c’est à dire, I n est la matrice dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1, les autres (coefficients extra-diagonaux) sont tous nuls.   1  Exemple: I3 = 0 0 0 1 0 0  0 est la matrice

LAMBEETS Jérôme RAVEZ Valérie GODTS Anthony BOURGEOIS Marc DOPPAGNE Jordan TOSI Pietro GODEFROID Blaise VAN LEECKWYCK Robin THIRION François 2.925 SAIDI Jaâber 731 893 30,53% 7 16 870 1.942 486 684 35,22% 11 8 665 3.580 895 945 26,4% 8 10 927 nuls Collèges électoraux étudiants (Scrutin uninominal) Listes Candidats effectifs Candidats 1 suppléants ers Candidats 2 suppléants e 208 661 58 396 269 807 63 E1 Philo & Lettres Priorité étudiante Philo&Lettres Elu Elu

Daubechies dbk utilise 2k coefficients et est donc calculée à partir de 2k points. LA TRANSFORMATION EN ONDELETTES – p. 53/6 Moments nuls Une ondelette a m moments nuls si et seulement si : +∞ k −∞ t ψ(t)dt = 0 pour k = 1, ..., m Ceci veut dire que ψ(t) est orthogonale à tous les polynomes de degré ≤ m. Ou encore : Une ondelette a m moments nuls si et seulement si sa fonction d’échelle restitue le polynômes de degré inférieur ou égal à m. Pour les fonctions d’échelle cette proprièté

a 2 = |ν(X)| = |x2 − x1| ≤ |x2| + |x1| ≤ 2, on doit avoir |x1| + |x2| = 2. Compte tenu de |x1| ≤ 1 et |x2| ≤ 2, cela n´ cessite |x1| = |x2| = 1. e On doit avoir aussi |x2 − x1| = |x2| + | − x1| et on sait que le module d’une somme de complexes non nuls n’est egal a la somme ´ ` des modules que si le quotient de ces complexes est un r´ el positif. Ici on doit donc avoir x 2 = k.(−x1) avec k r´ el positif. Comme e e µ |x1| = |x2| = 1, on a n´ cessairement k = 1 donc x2 = −x1 . X doit donc etre de la

égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème. 13. Soit f :  →  une fonction continue et de période 2π telle que la restriction de f à l’intervalle [0, 2 π] soit à variation bornée. Pour n entier relatif et N entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision 2πk σ = ( xk )0≤ k ≤ n N de [0, 2 π] définie, pour k entier compris entre 0 et n N , par : xk = . nN Pour k entier compris entre 1 et n N , on notera Vk ( f ) la variation totale de f sur l’intervalle [xk −1 , xk ]