Image vectorielle

Feuille Exo 1 I. Colinéarité de deux vecteurs u et ⃗v sont colinéaires SSI il existe λ≠0 tel que ⃗ u =λ ⃗ v . Définition : Deux vecteurs non nuls ⃗ Définition : Par convention, ⃗ 0 est colinéaire à tout vecteur. u ( x ) et ⃗v ( x ' ) sont colinéaires SSI x y '− x ' y=0 Propriété : Dans un repère du plan, ⃗ y y' Démonstration : II. Vecteur directeur d'une droite u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe A et B deux points de d distincts tels Définition : Un vecteur ⃗ ⃗ que AB=⃗ u . Remarque

réalité, la dimension a de nombreuses définitions, dont quelques unes en mathématiques et d’autres en physique. En Physique Le terme “dimension” renvoie à deux notions complètement différentes: Il utilise beaucoup la notion mathématique d’espace vectoriel. Ainsi, la dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état, un événement. Par exemple, on dit classiquement que notre univers est à quatre dimensions, puisqu'un événement se définit par la position dans l'espace (x

aussi en économie. Minkowski (1864-1909) fut le premier à étudier systématiquement les ensembles convexes et ses oeuvres contiennent la plupart des idées importantes utilisées pour le sujet. Les premiers développements se limitaient aux espaces vectoriels de dimension nie et l'objet principal était la résolution de problèmes de nature quantitative. Depuis 1940, les aspects combinatoires et qualitatifs ont bénécié d'une plus grande attention. L'étude des fonctions convexes a permis de fournir un

Chap 11 Relations d’ordre, r´els e 1 1.1 Relation d’ordre D´finition g´n´rale e e e ee Remarque. On admet la notion intuitive de relation (binaire) entre 2 ´l´ments d’un ensemble E. D´finition. Soit ¤ une relation sur E. On dit que ¤ est une relation d’ordre si et seulement si : e (a) (b) (c) dpx, yq € E 2, px ¤ y et y ¤ xq ùñ x  y 3 ¤ est transitive i.e. dpx, y, z q € E , px ¤ y et y ¤ z q ùñ x ¤ z ¤ ¤ est r´flexive i.e. dx € E, x ¤ x e est antisym´trique i.e. e D´finition. Soit

sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation 2 2 2 2 3 K désigne R ou C, E un K-espace vectoriel . 2.2 Polynôme de matrice 1 Sous espaces stables par un endomorphisme Définition 1 : Soit u ∈ stable) si (E), un sous espace vectoriel F de E est

Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent

si les conditions i et ii sont satisfaites : i) il existe un espace vectoriel de dimension n, muni d’une base quelconque ; ii) tout élément de cet espace est transformé linéairement, par chaque opération du groupe, en un élément du même espace. Alors, à chaque opération de symétrie peut être associée la matrice de cette transformation linéaire, qui est une matrice carrée n × n dont l’expression dépend de la base. L’espace vectoriel constitue un espace de représentations, cette base est la base de la

ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re d’un ouvert e Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que la fronti`re

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur

2 ` ALGEBRE Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres