Formule intégrale de Cauchy

ikt gtdt, notons S n t   gt  2. n 2    D’aprés 1.2) S n cvu vers g sur 0, 2, or |e ikt gt  e ikt S n t| |gt  S n t| donc  e ikt S n t cvu vers e ikt g t sur 0, 2 et par théorème d’inversion limite intégral on a  c k g  lim   1 2 1 2 n n 21 1 2 n  0 e ikt S n tdt et e iku 2 1 2  0 e ikt S n tdt   2n1 iku 2 1 2 n  0 e ikt gt  2dt 1 2 2 n   2 gudu  1

ℓ|x|. Ceci implique : n n−→∞ n−→∞ an an x 1 α) ℓ|x| < 1 ⇐⇒ |x| < =⇒ la série est absolument convergente ℓ 1 β) ℓ|x| > 1 ⇐⇒ |x| > =⇒ la série est divergente ℓ 1 D’après la remarque (2.2.1), R = . ℓ n b) Posons ℓ = lim |an |. En utilisant le critère de Cauchy : a) Posons ℓ = lim n−→∞ Preuve. |an xn | = ℓ|x| puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on aboutit à n−→∞ 1 la même conclusion ; R = . ℓ Exemple 2.2.1 lim n M r A  N -E  24 2.3 Propriétés ∞ n=0

équivalence des normes, suite de Cauchy ; notions de topologie, voisinage, continuité, continuité uniforme, parties compactes. c) Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de CauchySchwarz, norme. Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d’une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. 2. fonctions d’une variabLe réeLLe, caLcuL différentieL et intégraL Les fonctions étudiées sont définies

ℓ|x|. Ceci implique : n n−→∞ n−→∞ an an x 1 =⇒ la série est absolument convergente α) ℓ|x| < 1 ⇐⇒ |x| < ℓ 1 =⇒ la série est divergente β) ℓ|x| > 1 ⇐⇒ |x| > ℓ 1 D’après la remarque (2.2.1), R = . ℓ n b) Posons ℓ = lim |an |. En utilisant le critère de Cauchy : a) Posons ℓ = lim n−→∞ n = ℓ|x| puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on 1 aboutit à la même conclusion ; R = . ℓ lim n−→∞ |an xn | Exemple 2.2.1 M r A  N -E . 26 1. ∞ n=0 xn . n! 1 On a an = , utilisons

ℓ|x|. Ceci implique : n n−→∞ n−→∞ an an x 1 α) ℓ|x| < 1 ⇐⇒ |x| < =⇒ la série est absolument convergente ℓ 1 β) ℓ|x| > 1 ⇐⇒ |x| > =⇒ la série est divergente ℓ 1 D’après la remarque (2.2.1), R = . ℓ n b) Posons ℓ = lim |an |. En utilisant le critère de Cauchy : a) Posons ℓ = lim n−→∞ lim n |an xn | = ℓ|x| puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on aboutit à n−→∞ 1 la même conclusion ; R = . ℓ Exemple 2.2.1 M r A  N -E  24 2.3 Propriétés 1. ∞ n=0 xn . n! 1 On a an

distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Les formules de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Applications à l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité

deux états possibles de polarisation circulaire du photon (horaire et anti-horaire). Comme en électromagnétisme classique, une polarisation linéaire correspond à une superposition de deux états d’hélicité opposée. Une conséquence importante de ces formules est que l’annihilation d’une particule et de son antiparticule ne peut pas se faire sous la forme d’un seul photon. En effet, dans le référentiel du centre de masse, les particules entrant en collision n’ont pas de quantité de mouvement, alors qu’un

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e e p´riode consid´r´e est alors donn´e par la formule e ee e n S= i=1 Ii .Wi . En pratique, il est tr`s difficile de mener les calculs d`s que le nombre de polices e e est ´lev´, mˆme sous des hypoth`ses restrictives. Le plus souvent, on supposera e e e e que les Ii sont i.i.d., avec P (I1 = 1) = p, que les Wi sont i.i.d., et que les Wi sont ind´pendants des Wi . Dans ce cas, la fonction de r´partition de S est donn´e e e e par la formule classique des convolutions : n FS (x) = k=0

affinité ....................................................... Voile dont la surface moyenne est un hyperboloïde à une nappe .......... Voiles de révolution ................................................................................ Notations et formules préliminaires .......................................................... Équations générales de la théorie de la membrane ................................. Voiles soumis à une densité de force symétrique .................................... Voiles