Formule intégrale de Cauchy

l'adhérence est incluse dans C (0 < r < r < |h| < R < R). On peut alors écrire la formule de Cauchy sur le lacet γ constitué du cercle Cr parcouru dans le sens direct, de la portion de rayon i [r , R ] joignant Cr et CR du cercle CR parcouru dans le sens indirect et de la même portion de rayon parcourue en sens inverse i [R , r ] (voir g 2). Ce lacet est homotope au point h dans C , on peut donc lui appliquer la formule de Cauchy (??) et il vient : g (h) = − 1 2iπ Cr g (z) 1 dz + z−h 2iπ

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3 Forme polaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3.1 Formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.3.2 Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Fonctions élémentaires 7 1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule intégrale, facilement maniable pour l’analyste

Suites, Séries, Intégrales Cours et exercices Sylvie Guerre-Delabrière Professeur à l’Université Pierre et Marie Curie Table des matières 1 Quelques éléments de logique 1.1 Lettres grecques et symboles mathématiques . . . 1.2 Implications [A ⇒ B] et équivalences [A ⇐⇒ B] 1.3 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . 1.6 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques. Pierre-Jean

ses recherches. Au printemps 1823, Abel reçoit une bourse de 100 thalers (*) pour aller au Danemark présenter ses travaux aux mathématiciens danois durant l’été. Il rencontre Degen, le mathématicien suédois qui lui avait conseillé d’étudier les intégrales elliptiques. Celui-ci est étonné des résultats qu’Abel obtient en considérant l’inverse des fonctions définies par ce type d’intégrales. Il rencontre aussi lors d’un bal, une jeune danoise, Christine Kemp surnommée Crelly- qu’il invite à danser

des fonctions . . . . . . . . . . C.4 Développements limités . . . . . . . . . . C.5 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . C.6 Intégrale des fonctions réglées . . . . . . C.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . C.8 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . C.9 Équations différentielles . . . . . . . . . Formules de trigonométrie circulaire Formules de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le terme général porte une puissance n−ième sont bien adaptées à l’utilisation du critère de Cauchy. On a ici : √ n un = n−1 → 1/2. 2n + 1 La série converge. 3. C’est un peu plus dur. On sépare les termes pairs et impairs. On a : 1 √ u2p = , 2 et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p converge. D’autre part, √ 2p+1 u 2p+1 = 2, 2p et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p+1 diverge. Ecrivant la STG un comme somme d’une série convergente

Théorème des Fonctions Implicites . 1.9.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Intégrales multiples 2.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exemple introductif . . . . . 2.1.2 Théorème de Fubini . . . . . 2.1.3 Changement de variables . . . 2.1.4 Intégrales doubles généralisées 2.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemple introductif . . . . . 2.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . 2.2.3 Changement de variables .