Mathématiques -

Quinzaine de khôlles no

— Nombres complexes

Lycée J.-B. Say PCSI

. Nombres complexes
▶ Définition de C : règles de calcul, exemples, interprétation géométrique des nombres complexes. ▶ Calculs dans C : binôme, série géométrique, série arithmétique, conjugaison, module, propriétés. ▶ L’exponentielle complexe : rappel sur l’exponentielle réelle, définition de θ , propriétés (équation fonctionnelle, formule de Moivre, formules d’Euler, etc.), forme polaire d’un nombre complexe, argument d’un nombre complexe, propriétés, prolongement de l’exponentielle à C, le groupe (U, ×). ▶ Equations du second degré : racines carrées d’un nombre complexe non nul, méthode pratique d’extraction d’une racine carrée (sous forme polaire ou algébrique), résolution des équations du second degré à coefficients dans C. ▶ Racines -ièmes : de l’unité, d’un nombre complexe quelconque, relations remarquables.

. Questions de cours
Question de cours . Enoncé et démonstration de l’inégalité triangulaire pour le module (sans le cas d’égalité). Question de cours . Calcul des racines carrées de 1 + sous forme polaire et algébrique. En déduire les expressions de cos(π/8) et sin(π/8) au moyen de radicaux. Question de cours . Définition des racines -ièmes de l’unité pour ∈ N∗ . Description des racines -ièmes de l’unité (avec preuve).

. Méthodes à maîtriser
▶ L’intégralité du formulaire de trigonométrie est à connaître. ▶ Savoir factoriser les expressions du type θ1 θ1 θ2

±
¢

par l’angle-moitié : +
−
θ1 −θ2 2

+

θ2

=

θ1 +θ2 2

θ1 −θ2 2

£

= 2 cos

θ1 − θ2 2

θ1 +θ2 2

▶ Savoir appliquer la formule de la série géométrique (en vérifiant avec soin que le raison est différente de 1). ▶ Savoir calculer les racines carrées de ω donné sous forme polaire ou algébrique. ▶ Savoir exprimer cos( bychev). ) sous la forme d’un polynôme en cos( ) pour des « petites » valeurs de (polynômes de Tche-

▶ Savoir linéariser un produit de fonctions