F-Zero

Chapitre 6 : La dérivation des fonctions Chapitre 6 – La dérivation A) Nombre dérivé 1) Limite d'une fonction en zéro a) Exemple : x 1 x – 2 La fonction g : x → est définie sur R*. x g(0) n'existe pas, mais g(x) existe pour x aussi petit qu'on le désire. On peut se demander ce qui se passe pour x très petit. Cela s'appelle "chercher la limite de g(x) quand x tend vers zéro". Or, pour x non nul, on a 2 21 x  −2 24x2x²−2 4x2x² = = = 42x x x x 2 Pour x = 0, cette expression

définie sur ]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e x est à valeurs dans »+ et transforme une somme en un produit. c) L’équation exp( x ) = 0 admet une unique solution strictement positive. d) La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur  −∞ ; 0  . e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue. f) La dérivée de la fonction f : x e x − 1 est e x donc f est une fonction strictement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x 0 ≥ 0 tel que f ( x 0 ) = 0. g) Pour

justifiant votre choix. Chaque réponse exacte rapporte 1,25 point si les justifications sont correctes, 0,25 sinon. Chaque réponse fausse enlève 0,25 point. L’absence de réponse à une question rapporte zéro point. Si par application de ce barème, le total des points est négatif, il est ramené à zéro. 1. Soit f une fonction définie sur l’intervalle[pic] et vérifiant [pic] et h la fonction définie sur IR par [pic]. a) Il existe une fonction g définie sur IR telle que [pic] et [pic]. b) Il existe

Residual ….. Total 14 Intercept X Variable 1   Surface (m2) Mean (Moyenne) 58 Sample Variance (Variance de l’échantillon) 160. 4286 SS ……. 531.4356 2894.9333 MS 2363.4978 ……. Coefficients Standard Error t Stat 21.2356 1.0258 …….. ……… …….. ……… F ………. Lower 95% ……. …… Upper 95% ……. …….. Applications régression linéaire simple On demande: a) Vérifiez la signification des paramètres du modèle, interprétez leur valeur et déterminez les intervalles de confiance correspondantes (tcritique= 2,65);

suite (vn)n∈N converge vers zéro, c’est-à-dire que = 0, et que la suite (un)n∈N est bornée. Montrons que le produit (un)n∈N · (vn)n∈N converge vers zéro. Par hypothèse, il existe un réel M > 0 tel que |un| ≤ M pour tout n ∈ N. Soit ε > 0. Appliquons la définition de la convergence à la suite (vn)n∈N avec ε/M : il existe N ∈ N tel que |vn| < ε/M pour tout n ≥ N. Il en résulte que |unvn − 0| = |unvn| ≤ M|vn| < ε, ce qui montre bien que (un)n∈N · (vn)n∈N converge vers zéro et prouve le premier point.

centaines, 4 au chiffre des dizaines et 8 au chiffre des unités. Séquence 1-MA15 11 Il restait à représenter l’absence (l’absence par exemple de centaine dans le nombre 7 045 et correspond à une colonne vide dans l’abaque) et c’est ainsi que le zéro « 0 » a été inventé. Remarque La numération de position à base 10 ainsi que le 0 sont apparus en Inde au 4ième siècle. Indépendamment, la numération de position ainsi que le 0 apparaissent en Amérique (numération maya). Au VIIIième siècle, les

d'abord croissante, puis décroissante. La parabole est tournée « vers le bas », la fonction est dite concave. Fonctions de la forme f(x) = ax2 pour aégal à 0,1  ; 0,3 ; 1 et 3. Plus a est loin de zéro, plus la parabole est élancée. La valeur absolue du nombre a donne également la vitesse de variation de la fonction du second degré. Ainsi, plus a est proche de zéro, plus la parabole va paraître « aplatie », pour un repère donné. Pour l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses, un autre

nombre 71 et le chiffre 7 dans le nombre 17 ? Quelle est "la valeur" du chiffre 7 dans les deux nombres 71 et 17 ? b) Le système décimal est-il un système de numération additive ou de position ? Pourquoi ? c) Dans un système de numération additive, le "zéro" est-il utile ? Pourquoi ? d) Même question pour un système de numération de position. Base Système 2 Binaire 3) Quelques bases de numération positionnelles 8 Octal • Les Hommes ont pris l'habitude de compter par "paquets". 10 Décimal La numération

Conclusion la fonction f k (x) (comme toutes les solutions de l’équation différentielle), est croissante sur R. 1−k = 0 ⇐⇒ k = 1. 2. Si C contient O, alors f k (0) = 0 ⇐⇒ 1+k C correspond à la fonction f 1 . Polynésie a. On a 1 + ke > 0, car tous les termes sont supérieurs à zéro. La fonction f k somme de quotients de fonctions dérivables (le dénominateur étant non nul) est elle-même dérivable et −kex (1 + kex ) − (1 − ke x ) × kex ′ f k (x) = 1 + (1 + ke x )2 x 1 + k 2 e2x 2ke ′ = . f k (x) = 1 − (1

termes sont supérieurs à zéro. La fonction f k somme de quotients de fonctions dérivables (le dénominateur étant non nul) est elle-même dérivable et −kex (1 + kex ) − (1 − ke x ) × kex f k′ (x) = 1 + (1 + kex )2 x 1 + k 2 e2x 2ke = . f k′ (x) = 1 − 2 (1 + ke x ) (1 + kex )2 2 + 2k 2 e2x . Donc 2f k′ (x) = (1 + kex )2 1 − kex 1 − kex 2 2 Or f k (x) − x = et , donc f (x) − x = k 1 + kex 1 + kex 2 + 2k 2 e2x 1 − kex 2 2 +1 = . f k (x) − x + 1 = x 1 + ke (1 + ke x )2 Conclusion f k (x) est bien solution