F-Zero

tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles S = ] 3 ; 2 ]. Exemple 3 2x + 3 4x Résoudre l’inéquation ≤ . x−1 2x − 3 ➔ On commence par transformer l’expression de manière à n’avoir QUE des produits ou des quotient d’un côté, et un zéro de l’autre : 2x + 3 4x 2x + 3 4x ≤ ⇐⇒ − ≤0 x−1 2x − 3 x−1 2x − 3 ⇐⇒ (2x + 3)(2x − 3) − 4x(x − 1) ≤0 (x − 1)(2x − 3) ⇐⇒ 4x2 − 9 − 4x2 + 4x ≤0 (x − 1)(2x − 3) ⇐⇒ 4x − 9 ≤ 0. (x − 1)(2x − 3) ➔ construction du tableau de signes : x 3 2 1 −∞ 9

découvert la richesse des mathématiques arabes des trois siècles précédents, avec notamment les noms de Al-Khwarismi ou du poète Omar-Khayyam. En 1202, il publie le Liber Abaci, un traité sur le calcul fondé sur le système décimal, en incluant le zéro, à une époque où tout l'Occident chrétien utilisait encore les chiffres romains : [pic] 1) À partir de la partie soulignée de l’extrait qui précède, écrire les chiffres du système décimal tel qu’ils étaients calligraphiés à l’époque de Fibonacci

0 3 1 − 3 1 ; ; B  ;  ; C ( 0;1)    2 2  2 2 S la similitude de centre o de rapport 2 et d’angle orienté π 3 www.succes-assure.com ( Γ ) l’ensemble des points M d’affixe z tel que (1 − i ) z + 2i Etudier la transformation F d’écriture complexe f ( z ) = (1 − i ) z + 2i Déterminer l’image du cercle C de centre Ω ( 2; −1) et de rayon 1 Déterminer =2 EXERCICES - CORRIGES www.succes-assure.com 2) Déterminer l’affixe z’ du point M’en fonction de z. 3) Déterminer A’, B’ et C’image respectives

ups-tlse.fr 1/27 0- Intégrales simples (rappel) M— Michel Fournié O- Intégrales simples Rappels Approximation Définition : Intégrale définie • Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 0 3 2.5 2 1-Intégrale double 2-Intégrales triples 1.5 1 0.5 0 0.5 1 x 1.5 2 2.5 • On peut alors délimiter une surface par : le graphe de f , l’axe Ox, les droites x = a, x = b, puis lui associer un nombre réel noté S appelé aire de la surface (l’unité de mesure étant un cube de coté 1).

imaginaire pur. x −i−1+i x −1 Les points M ′ appartiennent donc à l’axe des ordonnées. 2. F A E XERCICE 3 f (x) = 1 + xe−x . Partie A 1. 5. a. On sait que lim x La droite (∆) est asymptote à C au voisinage de plus l’infini. x→+∞ ex 6 points = xe−x = 0, on a lim f (x) = 1. x→+∞ b. La fonction f est une somme de fonctions dérivables sur [0 ; + i n f t y[, elle est donc dérivable et : f ′ (x) = e−x − xe−x = e−x (1 − x) qui est du signe de 1 − x, puisque e−x > 0 quel que soit x ∈ R

car un carré est toujours positif. c) f : x → (2x + 3)2. 2 a) 8 → 65 ; 6 3 Placer les points A’ et B’, milieux respectifs des segments [BC] et [AC] ; tracer la droite Δ1 perpendiculaire à (BC) passant par A’ ; tracer la droite Δ2 perpendiculaire à (AC) passant par B’ ; placer le point Ω intersection des droites Δ1 et Δ2 ; construire le cercle de centre Ω passant par A. 1 → –2 ; 1 0→– : 2 et – 2 n’a pas d’image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x–2 Activité 2 1 On

on soustrait x aux deux membres ; on soustrait 3 aux deux membres ; on divise par 8 les deux membres. et il est impossible d’obtenir – 9 car un carré est toujours positif. c) f : x → (2x + 3)2. 2 a) 8 → 65 ; 6 1 → –2 ; 1 0→– : 2 et – 2 n’a pas d’image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x–2 3 Objectif : déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme (éventuellement aplati). 4 Lire b et c. Calculer le carré de b. Calculer

Soit C sa courbe représentative dans un repère [pic]du plan. 1. On admet que [pic]. En remarquant que, pour tout x de l’intervalle ]0 ; 5], [pic], déterminer la limite de la fonction f en zéro et interpréter graphiquement le résultat. 2. Montrer que pour tout x de l’intervalle ]0 ; 5], f ′(x) = 2g (x) où g est la fonction définie dans la partie A. En déduire le signe de [pic], puis dresser le tableau de variations de la fonction [pic] . Partie C : position relative de deux

05 4,2 2,05 7 6,4 9,04 -2.64 6,97 2,64 8 12,9 8,51 4,39 19,27 4,39 9 21,1 9,39 11,71 137,12 11,71 10 15,4 11,73 3,67 13,47 3,67 11 16,5 12,46 4,04 16,32 4,04 12 11,6 13,27 -1,67 2,79 1,67 total 279,77 44,93 d) = = = 25,43 e) EMA = = =3,74 f) Mois |e| Erreur cumulée EMAi Erreur cumulative Signal de dérivei Février 0,5 0,5 0,3 -0,5 -1.67 Mars 5,5 6 1,34 5 3,73 Avril 6,7 12,7 2,41 11,7 4,85 Mai 2,06 14,76 2,34 13,76 5,88 Juin 2,05 16,81 2,28 11,71 5,14 Juillet 2,64 19,45 2,35 9,07 3,86

Preuve Puisque la suite des sommes partielles (Sn ) est convergente, de limite S, n→ + ∞ an est convergente, alors lim an = 0. n→+∞ lim Sn − Sn−1 = S − S = 0 = n→ + ∞ lim an . K ® Remarque Lorsque la suite (an ) ne tend pas vers zéro, on dit que la série an est grossièrement divergente. Il est bon de connaître l’exemple suivant, bien qu’il soit hors programme. Il montre en particulier que la réciproque du théorème précédent est fausse. Exemple Série harmonique 1 La série est