Extremum

entre les corps eux-mêmes. On parle parfois de mélanges zéotropiques. Chap. 3. Diagrammes binaires T Vapeur 47 Liqu ide + vapeu r Liquide 0 Diagramme zéotropique 1 Le second type de diagramme montre l’existence d’un extremum (maximum ou minimum) qui porte alors le nom d’azéotrope. On parle parfois de diagrammes homoazéotropiques. T e+ va Vapeur r peu T uid Liq Li qu Vapeur ide +v ap Liquide eu r Liquide + vapeur qu Li ide ap

concurrence parfaite, le prix est constant. Si la recette totale est  p.q ; la recette moyenne : p.q /q = p est égale à la recette marginale : d RT / dq = p Le calcul fonctionnel nous dit que la condition nécessaire pour atteindre le maximum (un extremum) d'une fonction dérivable est d'annuler la dérivée première. La condition seconde étant que la dérivée seconde (la dérivée de la pente) soit négative[1]. En d'autres termes, pour déterminer les conditions d'un profit maximum pour la firme, il faut

eaque tu in primis summa tranquillitate et otio perfruare: tum te, si uoles, cum et patriae quod debes solueris, et naturam ipsam expleueris satietate uiuendi, satis diu uixisse dicito. Quid est enim (omnino) hoc ipsum diu, in quo est aliquid extremum? quod cum uenit, omnis uoluptas praeterita pro nihilo est quia postea nulla est futura. Quamquam iste tuus animus numquam his angustiis, quas natura nobis ad uiuendum dedit, contentus fuit: semper immortalitatis amore flagrauit. A) VOCABULAIRE

Ume j (w t + j) = Ume j w t , où Um = Ume jj est l’amplitude complexe de u(t). On obtient u(t) en prenant la partie réelle de u(t) et l’amplitude réelle Um en prenant le module de Um . L’amplitude xm(w) passe par un extremum pour w = 0 . Il y a résonance d’élongation (autre extremum 1 1 . Si l’amortissement est de xm(w)) si Q . Cette résonance a lieu pour w r = w 0 1 – 12 2Q2 8 faible, wr ≈ w 0 et l’amplitude maximale Xm est égale à QxAm . Le système effectue un filtrage passe1 1 bas ou passe-bande

b) Chapitre 4 Les dérivées et leurs applications 15 Étant donné qu’il existe au plus deux valeurs critiques, il y a au plus deux extrema relatifs et, dans le cas i), il y en a effectivement deux. Il peut, comme dans le cas iii), n’y avoir aucun extremum relatif. Cependant, s’il y a une seule valeur critique, il n’y a pas d’extremum relatif. APPLICATION – Le calcul différentiel et les arcs-en-ciel 1. Selon la loi de Snell-Descartes, sin   k sin   43 sin     arcsin( 34 sin  ). En remplaçant

Lagrange. Nous avons : ′ U1 ′ = − λ ⇒ U1 + λ p1 = 0, p1 23 et ′ U2 ′ = − λ ⇒ U2 + λ p2 = 0. p2 Ce système de deux équation à deux inconnues est obtenue lorsque nous désirons trouver la condition de premier ordre permettant de trouver un extremum à la fonction suivante : L(x1, x2, λ) = U (x1, x2) + λ (p1 x1 + p2 x2 − R). La condition de premier ordre conduit effectivement aux équations :  ′  U1 + λ p1 = 0     ′ U2 + λ p2 = 0      p1 x1 + p2 x2 = R La dernière équation ne nous

de d´veloppement e e e limit´ ` l’ordre 1 en (0, 0). ea Exercice 1261 Trouver le point du plan (2x − y + z = 16) le plus proche de l’origine. Exercice 1262 D´terminer les extremums de f (x, y) = xy(1 − x2 − y2) sur [0, 1]2 . e Exercice 1263 Soit f (x, y) = x2 +xy+y 2 −3x−6y. Montrer que f admet au plus un extremum. Ecrire f (x, y) + 9 comme la somme de deux carr´s et en d´duire que f admet −9 comme valeur e e minimale. Exercice 1264 D´terminer un triangle d’aire maximale inscrit dans

domaine de validité des hypothèses de la résistance des matériaux (RdM). - Identifier le type d’élément (poutre, plaque, ..) à partir des hypothèses de la RdM. - Déterminer les caractéristiques géométriques (centre de gravité, moments quadratiques extremums) de la section droite d’une poutre. - Déterminer les actions de liaison par une méthode analytique ou graphique. - Matériaux constitutifs des éléments de structure - Exploiter les diagrammes modélisant le comportement d’un matériau (linéaire

un graphe en escargot : y y=x ϕ(xp ) y = ϕ(x) a−h x0 x2 xp a xp+1 x3 x1 a+h x (3) ϕ (a) = 0. En g´n´ral, on ne va rien pouvoir conclure. Cependant, si ϕ est de classe C 2 et e e ϕ (a) = 0, alors le point a est un extremum local. On choisira h assez petit pour que ϕ ne change pas de signe et |ϕ | < 1 sur [a − h, a + h]. Alors, si ϕ (a) < 0 (resp. ϕ (a) > 0), le point a est un maximum local (resp. un minimum local), et pour x0 ∈ [a − h, a + h] {a} quelconque, il

comprise entre 0 et 1 vérifie sup &#119909;∈]0.1[ |&#119891;&#119899;(&#119909;)| = &#119891;&#119899;(&#120572;&#119899;)(= 0) et &#119891;&#119899; ′(&#120572;&#119899;) = 0 Si &#120572;&#119899; ∈ ]0,1[ |&#119891;&#119899;| atteint un extremum à l’intérieur de l’intervalle [0,1] donc sa dérivée est nulle. 2. Limites, continuité dérivabilité Pascal Lainé 38 &#119891;&#119899; ′(&#119909;) = &#119899;&#119909;&#119899;−1&#119892;(&#119909;) + &#119909;&#119899;&#119892;′(&#119909;)