Extremum

de la faiblesse, ou la paresse, qui est une des suites de la faiblesse et de la pusillanimité, qui me dégoûte d’un travail qui nuirait plus qu’il ne servirait à l’amélioration de mon ouvrage. Solve svenescentem mature sanus equum, ne Peccet ad extremum ridendus, et ilia ducat. HORAT. Epistolar. lib. I, Epist. I, vers. 8, 9. PHÉNOMÈNES. I. Un artiste qui possède à fond la théorie de son art, et qui ne le cède à aucun autre dans la pratique, m’a assuré que c’était par le tact et non par la

Mi x Mi 1 LM i M j 2 x' L 1  x'  LMi M j 1 +  6 L    x'    M j 1 + L  +  1    LM i   6 x    M' j  1 +   L    1 xx'   LM i M j  1 + 2  3 L   L Dans le tableau, M i , M j , M i' , M' j , sont les extremums des fonctions m i ( x ) et m j ( x ) . Ils sont à prendre en valeurs algébriques. Page 18/102 L/ 2 1 LM i M j 2 1 LM i M j 4 1 LM i M j + M' j 4 ( ) 5 LM i M j 12 17 LMi M j 48 17 LMi M j 48 7 LMi M j 48 7 LMi M

– 3x2 + 6x = 3x(– x + 2). x f’(x) –' 0 0 – f(x) + 2 0 0 9 – 0 – 18 61 Corrigé dans le manuel. 62 –4 5 55 f’(x) = 2x2 + . 6 x f’(x) 1 0 2 + f(x) +' – 0 –' +' 1, b ; 2, c ; 3, a. 63 1. f et f’ sont définies sur ‫–{ – ޒ‬1}. 2. Extremums locaux en x = – 2, x = 0 et x = 5. 3. Courbe possible : + y f(x) 56 f’(x) = 8x3 – 9x2 + x = x(8x2 – 9x + 1) 1 = x(x – 1)(8x – 1). x –' f’(x) 0 – 0 + 1 8 0 3+ f(x) 1 – 0 10 84 –6 – 7 9 f(x) 58 f’(x) = –1 + x f’(x) 0 + + 2 0 –2

si ∃α > 0 / ∀x ∈ I : |x − x0 | < α =⇒ f (x) ≤ f (x0 ). On dit que f admet un minimum relatif en x0 si ∃α > 0 / ∀x ∈ I : |x − x0 | < α =⇒ f (x) ≥ f (x0 ). On dit que f admet un extremum relatif en x0 si f admet un maximum relatif ou un minimum relatif en x0 . Proposition 8.3.2 Si f est d´rivable sur ]a,b[ et admet un extremum relatif en x0 ∈]a,b[ e alors f (x0 ) = 0. 38 ´ ´ CHAPITRE 8. FONCTIONS REELLES D’UNE VARIABLE REELLE 8.4 Th´or`me de Rolle et applications e e Th´or`me 8.4.1 (Th´or`me

Variations atmosphériques et climatiques à l’échelle des temps géologiques UNITÉ Le programme propose de n’étudier qu’un exemple d’extremum climatique. La cohabitation dans ce chapitre de deux exemples, celui d’un extremum climatique chaud avec le Crétacé supérieur et d’un extremum climatique froid avec le Permo-Carbonifère, offre la possibilité de choisir. L’exemple choisi pourra servir de modèle d’étude du climat global et de modèle de compréhension de ses facteurs de contrôle. La démarche d’étude

4 2 x ; tg 2 2 0 x x 29 y Etat de contrainte bidimensionnel Analyse des contraintes Directions des contraintes principales x y x y 2 x y 2 sin 2 cos 2 x x sin 2 2 d d(2 ) cos 2 = 0 pour extremum tg 2 2 0 x x y 30 Cercle de Mohr (en deux versions) Analyse des contraintes Construction du cercle de Mohr R tg 2 0 ( x y) 2 4 2 x x y 2 x 31 Cercle de Mohr (en deux versions) Analyse des contraintes

pour un maillage d´grad´. e e Pour la tendance, l’influence du maillage est particuli`rement notable sur la pr´diction e e du maximum de rendement, en valeur et en position. Ainsi, le maillage fin pr´dit une e “cloche” de performance avec un extremum au d´bit r´duit de 1.55 kg/s au lieu de 1.46 kg/s e e pour le maillage d´grad´. e e Cependant, pour des raisons de limitation des ressources, les comparaisons finales pour la validation seront bas´es sur des champs r´alis´s sur des maillages

correspond aux moments qui définissent la phase de plongeon. Le codomaine est [–1,5, 2] m et correspond à l’ensemble des altitudes possibles des mains de la nageuse durant la phase de plongeon. b) Le minimum est de –1,5 m et le maximum est de 2 m. Ces extremums correspondent respectivement à l’altitude minimale et l’altitude maximale des mains de la plongeuse durant cette phase. c) La valeur initiale est 0,5 m et correspond à l’altitude des mains de la plongeuse au début de la phase de plongeon. 2

*exp(-x1.^2-x2.^2); on exécute : >> [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); >> Z = g(X,Y); >> contour(X,Y,Z) >> Dans les 2 cas on obtient le résultat présenté figure 15. Par défaut les valeurs extrêmes en z sont déterminées automatiquement à partir des extremums de la fonction sur le domaine spécifié. Il est possible de modifier ces valeurs (et également les valeurs extrêmes en abscisses et ordonnées) par la commande axis dont la syntaxe est axis(x_min x_max y_min y_max z_min z_max). Si vous n’êtes pas satisfait

locaux (voir les points I1 , I2 , I3 et I4 ). En ces points, la tangente à la courbe est de pente nulle. On a donc une condition pour les identifier. x0 est un extremum local (minimum ou maximum) =⇒ f ′ (x0 ) = 0 Malheureusement, la réciproque est fausse (voir les points d’inflexion à tangente horizontale ci-dessous). On le voit : en un extremum local, la dérivée doit s’annuler et changer de signe ! x f (x) ′ + x0 0 comp. de f (x) − − x0 0 + maximum local minimum local