Extremum

LINÉAIRE (U0MSAW01) Semestre d'automne (M1) : 3 ECTS Page 7 / 52 - 12/03/2013 Objectifs : Initier les étudiants aux techniques d'optimisation non linéaire. Programme : Optimisation non linéaire sans contraintes : Existence et unicité d'un extremum, Conditions d'optimalité (y compris dans le cas convexe). Algorithmes de descentes : méthode des gradients, méthode de Newton et ses variations, Gradient conjugué. Optimisation sous contraintes : conditions d'optimalité, théorème de Lagrange (contraintes

nous devons réaliser. Parmi les programmations, nous pouvons retenir : 1.1.2  La programmation linéaire Le dictionnaire d'analyse économique de BERNARD G., (2001, p201) définit la programmation linéaire comme étant la méthode de recherche des extremums d'une fonction linéaire dont les variables sont soumises à des contraintes qui prennent la forme d'inégalité linéaire. Cette méthode peut être appliquée à des nombreux problèmes. Par exemple la gestion de stocks ou le transport des marchandises

une fonction possède un minimum ou un maximum, alors sa courbe aura une tangente horizontale en ce point, et cela correspondra à un point où la dérivée s’annule. Attention : ça n’est pas parce que la dérivée s’annule que l’on a nécessairement un extremum... Résumé : pour étudier une fonction f , on commence par tracer sa courbe avec le plus de soin possible. Pour tracer cette courbe, la démarche est la suivante. 2.3. COÛT TOTAL, COÛT MOYEN, COÛT MARGINAL 47 1. 2. 3. 4. 5. Calculer la

décroissante du prix relatif du travail et la demande de capital est une fonction décroissant du prix relatif du capital. Il s’agit bien de demandes optimales de facteurs, c’est-à-dire de quantités de facteurs qui non seulement correspondent à un extremum du coût total mais aussi à un minimum, dans la mesure où une condition équivalente à la condition de second ordre est vérifiée ; en effet, les isoquantes tournent bien leur convexité vers l’origine. Montrons-le. De y = z1 2 z 2 2 , 1 1 y = g

mémorisation, les résultats pour les fonctions d’une variable sont : • Si f est continue sur l’intervalle fermé borné [a ; b], alors f admet un minimum et un maximum (globaux). • Si f est de classe C1 sur l’intervalle ouvert I, et si f (x0 ) est un extremum local, alors f (x0 ) = 0. • Si f est de classe C2 sur l’intervalle ouvert I, si f (x0 ) = 0 et si f (x0 ) > 0 (resp. f (x0 ) < 0), alors f (x0 ) est un minimum local (resp. un maximum local). (Attention au sens des inégalités.) Dérivées partielles

Livre du professeur Entrée du chapitre (p. 6-7) Permet l’introduction des notions suivantes : - équation (citation et devinette) ; - représentation graphique d’une fonction, sens de variation d’une fonction, repère (BD du Chat) ; - variable, extremum (coin des langues) ; - optimisation et utilité des fonctions (texte en haut à gauche). Réponse à la devinette : mise en équation : 3( x + 4) − 3( x − 4) = 24 . Découverte (p. 8-9) Maximum 1. L’alcoolémie est la plus élevée au bout de 3/4 heure

perle est : 2 Le tracé de f n ( X ) = ( X 2 + u 2 – 1 ) confirme les prévisions précédentes : Raisonnons au voisinage de l’équilibre ( x = 0, y = – b ) : 1 x2 ≈ – mgb + - mgb --- + cte , et 2 a2 1 ˙2 dx ) . K ≈ - mx (y passe par un extremum donc : dy 2 L’intégrale première de l’énergie nous donne donc : 1 ˙2 1 x2 - mx + - mgb --- = cte . 2 2 a2 Par dérivation, nous obtenons l’équation des petites oscillations : gb ˙˙ + ---- x = 0 . x a2 Nous reconnaissons une équation

en x∗ ne suffit pas pour conclure, comme en atteste l’exemple f (x) = x3 . En revanche, le caractère « définipositif » de la hessienne n’est pas nécessaire, comme en témoigne l’exemple f (x) = x4 . Remarque 3.6. Un point critique qui n’est pas un extremum local porte le nom de point selle. Théorème 3.6. (Condition nécessaire et suffisante (C.N.S.), cas convexe) Soit f convexe et différentiable sur Rn . Une C.N.S. pour que x∗ soit un minimum local (donc global) de f est que x∗ soit un point critique

une fonction décroissante par une flèche descendante. Théoreme 3 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de dérivée f et a un réel distinct des extrémités de I. Si f s’annule en a en changeant de signe alors la fonction f admet en a un extremum local f (a). L’analyse des variations de f détermine s’il s’agit d’un maximum local ou d’un minimum local. 4.2 Exemples de modélisations Exercice 1 (Etude prévisionnelle d’un chiffre d’affaires) extrait BTS Une chaîne hôtelière projette d’ouvrir

la valeur moyenne sur une période des fonctions cos, sin, cos2 et sin2. Représentation graphique d’une fonction. Utiliser un grapheur pour tracer une courbe d’équation y = f(x) donnée. Déterminer un comportement asymptotique ; rechercher un extremum local. Utiliser des échelles logarithmiques ; identifier une loi de puissance à une droite en échelle log-log. Développement en série de Fourier d’une fonction Utiliser un développement en série de Fourier périodique. fourni par un formulaire