Extremum

Arrêts de boucle. 1. For ... : = ... To ... Do ... Cette instruction permet d'incrémenter une variable à partir d'une valeur inférieur jusqu'à une valeur supérieur et d'exécuter une ou des instructions entre chaque incrémentation. Les valeurs extrémum doivent être des entiers (integer) ou des caractères de la table ASCII (char). De manière plus générale, les bornes doivent être de type intervalle (voir chap Type) c'est-à-dire qu'ils doivent êtres de type entier ou compatibles avec un type entier

*exp(-x1.^2-x2.^2); on exécute : >> [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); >> Z = g(X,Y); >> contour(X,Y,Z) >> Dans les 2 cas on obtient le résultat présenté figure 15. Par défaut les valeurs extrêmes en z sont déterminées automatiquement à partir des extremums de la fonction sur le domaine spécifié. Il est possible de modifier ces valeurs (et également les valeurs extrêmes en abscisses et ordonnées) par la commande axis dont la syntaxe est axis(x_min x_max y_min y_max z_min z_max). Si vous n’êtes pas satisfait

intervalle car les tangentes ont des coefficients directeurs négatifs. 6. x g –3 –» 2 6 4 +∞ Activité 3. Extremum et dérivée A. 1. a. Première courbe : maximum pour a = 1, minimum global pour a = – 2. Deuxième courbe : maximum pour a = 0, minimum pour a = 4 (on ne tient pas compte des extrema locaux). Pour toutes ces valeurs de a, le nombre dérivé semble nul. b. Si la courbe d’une fonction f admet un extremum global en a, alors f¢(a) = 0. 2. a. et b. La conjecture ne fonctionne pas pour les extrema situés

les tangentes ont des coefficients directeurs négatifs. 6. x –» 2 6 +∞ 4 g –3 Activité 3. Extremum et dérivée A. 1. a. Première courbe : maximum pour a = 1, minimum global pour a = – 2. Deuxième courbe : maximum pour a = 0, minimum pour a = 4 (on ne tient pas compte des extrema locaux). Pour toutes ces valeurs de a, le nombre dérivé semble nul. b. Si la courbe d’une fonction f admet un extremum global en a, alors f¢(a) = 0. 2. a. et b. La conjecture ne fonctionne pas pour les extrema situés

mémorisation, les résultats pour les fonctions d’une variable sont : • Si f est continue sur l’intervalle fermé borné [a ; b], alors f admet un minimum et un maximum (globaux). • Si f est de classe C1 sur l’intervalle ouvert I, et si f (x0 ) est un extremum local, alors f (x0 ) = 0. • Si f est de classe C2 sur l’intervalle ouvert I, si f (x0 ) = 0 et si f (x0 ) > 0 (resp. f (x0 ) < 0), alors f (x0 ) est un minimum local (resp. un maximum local). (Attention au sens des inégalités.) Dérivées partielles

Exercice 6 Si f est croissante sur I alors pour tout réel x ∈I , f ′( x ) ≥ 0 . Vrai / Faux : t
j
4J
f ′(a ) = 0 alors la tangente au point d’abscisse a est parallèle à (Ox) ». C’est vrai. t

j
4J f ′(a ) = 0 alors la fonction admet un extremum (c’est-à-dire un maximum ou un minimum) au point d’abscisse a ». Corrigé séquence 6 – MA11 133 © Cned - Académie en ligne C’est faux. Par exemple, la valeur 0 n’est ni un minimum, ni un maximum de la fonction f : x x 3 sur l’intervalle

barycentre de [(A ; ¼ ) ; (C ; ¼ )]. PROBLEME ( 11 points ) 20 Lyc´ee Louis Armand ´ A.7. PONDICHERY 1999 Annales du baccalaur´eat S 2000 Soit la fonction num´erique d´efinie sur ¼ ½ · par Ü ´ µ Ü ¹½ ܾ . Partie A ¯ Recherche graphique d’un extremum L’observation de la courbe repr´esentative de la fonction sur l’´ecran graphique d’une calculatrice donne a` penser que admet un minimum sur l’intervalle [0,5 ; 2]. On se propose d’en donner une valeur approch´ee. Observer ci-dessous la repr´esentation

2k ( L2 + y 2 − l o ) + P = 0 ⇒ y − 1 =  L2 + y 2  2k dy L2 + y 2   Appelons ϕ(y) la fonction au premier membre; pour connaître les solutions équilibrées il faut donc étudier la fonction ϕ(y). Cette fonction est impaire, et elle a deux extremums pour y = m L2 / 3 l 2 / 3 − L2 / 3 = [ o où la fonction vaut respectivement ya , yb ϕ ( ya ) ϕ ( yb ) ] = m (l 2/3 − L2 / 3 ) o 3/ 2 = m f *. - 177 - Chapitre 15 Le graphique de ϕ(y) est en figure 15.8; celui-ci est déjà le parcours

0 Alors : i. Si n = 2k, il existe un voisinage V de β sur lequel on a pour tout x ̸= β : ( f (β) > f (x) si f (n) (β) < 0 ) ( et f (β) < f (x) si f (n) (β) > 0 ) ii. Si n = 2k + 1, il n'existe aucun voisinage de β sur lequel f atteint un extrémum. Preuve Comme f (n) est continue, il existe un voisinage V de β tel que pour tout x ∈ V on a : ( ) ( ) f (n) (x) ̸= 0 et sign f (n) (x) = sign f (n) (β) Maintenant pour x ̸= β dans x ̸= β on a par la formule de Taylor : f (n) (z) (n + 1)!

| | |Si la recette totale est  p.q ; la recette moyenne : p.q /q = p est égale à la recette marginale : d RT / dq = p | | |Le calcul fonctionnel nous dit que la condition nécessaire pour atteindre le maximum (un extremum) d'une fonction dérivable est | | |d'annuler la dérivée première. La condition seconde étant que la dérivée seconde (la dérivée de la pente) soit négative[1]. | | |En d'autres termes, pour déterminer les conditions d'un profit maximum