Extremum

fonction. Reconna”tre graphiquement une fonction. Programmes de mathématiques SERIES G - Année 2006 85 Contenus ParitŽ dÕune fonction. PŽriodicitŽ dÕune fonction. Taux de variation des fonctions usuelles. Sens de variation dÕune fonction. Extremum. RŽsolution graphique dÕŽquations et dÕinŽquations. Commentaires les exemples sophistiquŽs. On introduira cette notion ˆ partir de l'observation dÕune courbe admettant une symŽtrie. On donnera des exemples pratiques de fonctions pŽriodiques. On

Remarque: Si a ≤ λ, il existe un phénomène de diffraction. 8 2/ Principe de Fermat Enoncé : Le trajet emprunté par la lumière entre deux points est tel que le temps de parcours est extremum (maximum ou minimum). c n v t ∆ = ∆ =∆ . n ∆ est le chemin optique, il est donc également extremum. Cela implique que dans un milieu homogène (n = constante), la lumière se propage en ligne droite. Lorsque le milieu est inhomogène (n ≠ constante), les rayons lumineux sont courbés. Exemple

société où règles et les droits sont préétablies. Il existe des règles comme ne pas voler, ne pas tuer qui sont parfois malgré l’interdiction légale la meilleure option possible. Des actions à premier plan immorales. Cependant ,des actes immoraux aux extrémums de l’éthique laissent à discuter de leur moralité. Dans ces genres de cas, tuer peut sembler la meilleure solution. Tuer en allant à l’encontre de la loi, tuer pour annihiler la souffrance. Des cas aux antipodes de l’éthique demandent un grand

et sa masse volumique sont maximales, non pas à sa température de fusion (0 °C) comme la plupart des liquides, mais à 3,98 °C. Or en métrologie, le fait de prendre comme référence une propriété physique qui passe par un extremum est très intéressant : au voisinage de cet extremum la propriété physique varie très peu. Ainsi au voisinage de 3,98 °C, une imprécision sur la détermination de la température exacte affecte très peu la masse volumique de l'eau et donc le résultat d'une mesure de densité

 associés  à  la  formule  suivante,  calculant  le  dépassement  :     Coût  en  euro  du  dépassement   =4,17  *  coefficient  de  dépassement  *(nombre  de  tranches  *  (extremum  -­‐  seuil)  ²)1/2         Avec  :   -­‐ nombre  de  tranches  :  pour  plus  de  précision,  la  durée  du  dépassement  est  divisée   en   tranches   de   dix

 II – Extremum d'une fonction Définition 1: Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. • On dit que f (a) est le maximum de la fonction f sur I, lorsque :  x  I , f ( x)  f (a) • On dit que f (a) est le minimum de la fonction f sur I, lorsque :  x  I , f ( x)  f (a)  Propriété 3: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et a un réel appartenant à I. f ' s'annule en changeant de signe en a si et seulement si f admet un extremum (maximum

la même méthode qu’en 2. 4. Tracer des tangentes saisir a = tangente [A, f], b = tangente [B, f], d = tangente [D, f]. 5. Cliquer sur l’icône dérouler et cliquer sur pente et sélectionner la tangente avec la souris. 6. Pour obtenir les extremums de f, saisir Extremum [f]. Ά 2πt = 0 + 2kπ 2πt = π + 2kπ Ά t=k t= 1 +k 2 k∈‫ގ‬ k∈‫ގ‬ . 50 © NATHAN La photocopie non autorisée est un délit. 

1.3.4 Résolutions d’inéquations de la forme f (x) g (x) . . 1.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Variations, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Problèmes . . . . . .

x, f (x) ≤ f (x0 ), et un minimum si pour tout x, f (x) ≥ f (x0 ). On appelle extremum de f une valeur qui est soit un minimum, soit un maximum. Si les inégalités ci-dessus sont strictes pour x = x0 , on parle de maximum, minimum ou extremum strict. 1 x exp(x) En toute rigueur, un extremum de f est une valeur f (x0 ), et il est réalisé pour x = x0 . Mais l’abus de langage qui consiste à confondre extremum et point en lequel il est atteint est courant. remarque : en pratique, pour

minimum local. Cours d’Analyse – 38 – ´ CHAPITRE 3. FONCTIONS DERIVABLES D´finition 3.13 : On dit que f admet un extremum en x0 si f admet soit un e maximum soit un minimum en x0 . Remarque 3.14 : Le pluriel de extremum est extrema. Th´or`me 3.15 : Soit f une fonction d´rivable sur un intervalle I de R et x0 e e e un point int´rieur de I. Si f admet un extremum local en x0 , alors e f (x0 ) = 0. Remarque 3.16 : 1. La condition que x0 est un point int´rieur est essentielle. e Exemple