Équation d'état

développements limités Sauf indications contraires, toutes les constantes introduites dans les énoncés sont des réels strictement positifs. Donner le domaine de définition et calculer les dérivées des fonctions : 7. de S(x, y,z) —a quand x +00 . Equation de van der Waals. On considère la relation suivante entre les variables P, V et T : (P + (V - b) = RT. Dans toute la suite, la variable T est fixée. On souhaite déterminer le développement limité de PV en fonction de P autour de P = 0. oc Pour

National S 2010 Equation différentielle – Restitution organisée de connaissances : suites – QCM Probabilité – Complexes Annales bac S non corrigées : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/terminale.html Document Word : http://www.maths.ac-aix-marseille.fr/debart/doc/bac_2010/bac_s_national_2010.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2010 Epreuve: MATHEMATIQUES Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées

La fonction exponentielle I – Equation différentielle f’ = f avec f(0) = 1 Définition : Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle. La résoudre sur un intervalle I c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité. Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur  telles que pour tout réel x : f’(x) = f(x). L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale. Propriété : Preuve 1 S’il existe une fonction f dérivable sur 

linéaire ) de n équations et à p inconnus (nous traitons ici le cas général) est de la forme :                    S: . . . a x +a x +a x +...+a xp=b 11 1 12 2 13 3 1p 1 a x +a x +a x +...+a xp=b 21 1 22 2 23 3 2p 2 a x +a x +a x +...+anpxp=bp n1 1 n2 2 n3 3 2 21/10/2010 x1 , x2 , …, xp sont les inconnus ( à chercher dans IR ) aij : coefficient dans la ième équation de l’inconnu x j ( 1≤i≤n ; 1≤ j≤p ) coefficient inconnu ...+aijx j +... ième équation Exemple

ans). Exercice 2 Aline a cueilli 84 trèfles; certains ont 3 feuilles, les autres 4 feuilles. On compte en tout 258 feuilles. a) x désigne le nombre de trèfles à 3 feuilles et y celui des trèfles à 4 feuilles. Mettre le problème en équation. b) Résoudre le système précédent et en déduire le nombre de trèfles à 4 feuilles. Réponse a) x + y = 84 3x + 4y = 258 b) 3x + 3y = 252 3x + 4y = 258 x = 84 -y y = 6 x = 78 y = 6 Il y a donc 6 trèfles à 4 feuilles

Exercices - Coniques : corrigé Équations des coniques Exercice 1 - Réduction de l’équation d’une conique - L2/Math Sup 1. Le discriminant de cette conique est −3. Elle est donc du genre ellipse. On commence par tourner le repère. Pour cela, on remarque que les coefficients devant x2 et y 2 sont égaux. On en déduit que le changement de repère approprié est celui obtenu par une rotation d’angle π/4, soit en posant : x = y = 2 2 X √ 2 2 X √ √ − + 2 2 Y √ 2 2 Y. En remplaçant dans l’équation

d'accueil Équations diérentielles. Résumé de cours Alexandre POPIER, Olivier WINTENBERGER Année : 2006-2007 Ce cours s'adresse aux étudiants étrangers de l'École Polytechnique en première année. Ce n'est pas un cours complet sur les équations diérentielles. Nous nous limitons à des équations avec des solutions à valeurs dans Rm et aux problèmes d'existence et d'unicité des solutions. De plus nous ne donnons pas les (( traditionnelles )) méthodes de résolution explicite des équations, et nous

(AE) et (BC) sont parallèles. CQFD. 3) Equations de la droite (AB) : Calculons les coordonnées du vecteur AB : AB ( 3 ; -1 ) Donc une équation cartésienne de (AB) est : -(-1) x + 3 y + c = 0, soit : x + 3 y + c = 0. On remplace dans cette équation x et y par les coordonnées du point A : -2 +3 (5) + c = 0. D'où c = -13. Donc une équation de (AB) est : x + 3 y - 13 = 0. En utilisant la même méthode, on trouve ceci : Equation de (CD) : - 4 x + 3 y + 7 = 0. Equation de (EF) : x - 2 y + 2 = 0. Notons

g´n´ral la seconde si la forme exponentielle de z est e e ´vidente, et la premi`re sinon. e e √ • Il est interdit d’utiliser la notation pour exprimer une racine carr´e d’un nombre come plexe, car il ne s’agit pas d’une fonction sur C. 1.4.2 Equation du second degr´ ` coefficients dans C ea u On veut r´soudre l’´quation az 2 + bz + c = 0, o` a, b, c, et z sont des complexes, avec a = 0. e e Comme dans le cas r´el, on la met sous forme canonique : e 2 2 b b − 4ac z+ − = 0. 2a 4a2 Pour r´soudre

réelle de y. B. Quelle différence y a-t-il graphiquement entre une fonction du 1er degré et du 2ème degré ? Les fonctions du 1er degré sont représentées par des droites ayant chacune leur équation tandis que les fonctions du 2ème degré sont représentées par des courbes ayant chacune leur équation. C. Une relation entre 2 grandeurs x et y peut être décrite par : I. Un tableau de correspondance qui associe les valeurs de x et y. II. Un graphique qui représente l’ensemble des