Dm Nombre Complexes

´tudierons. Nous come e e men¸ons d’abord par de brefs rappels et par des notations et d´finitions c e diverses. 1. D´finitions, notations et rappels. e 1.1. Points et sous-ensembles des espaces euclidiens. R sera le corps des nombres r´els et C sera celui des nombres complexes. Nous travaillerons e la plupart du temps dans Rn et n d´signera toujours la dimension. Les e n points de R seront g´n´ralement not´s x, y, ξ, η ; les coordonn´es de x ´tant e e e e e (x1 , . . . , xn ). Si U est un sous-ensemble

février 2011 2 Table des matières I I Le plan complexe et les nombres complexes L’ensemble A B C II A B C III 7 8 8 9 9 C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition et multiplication des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la fonction nulle. Soit A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A∪B) = 0,7. d) A et B sont incompatibles. Exercice n°2 Bases en Géométrie.   Pour le a) et b), on se place dans le plan complexe ( O; u , v ) .   Les questions a) et b) sont indépendantes. 2π 2π  2π  −6  cos [2 ] . π a) Si z = + i sin  alors arg( z ) = 3 3 3   b) Si M est un point d’affixe z de partie imaginaire non nulle et M’ un point d’affixe z '

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

φ(z) φ holomorphe au voisinage de dans un des deux premiers cas suivant que m = 0 ou m = 0. f (z) = a + Fig. 1. Singularité essentielle 1 1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT 2 Remark 1.2. Dans le cas ii) il existe des complexes au moins est non nul, tel que fonction holomorphe sur f (z) − a−1 , a−2 , ..., a−m dont l'un a−i 1≤i≤m (z−z0 )i se prolonge en z0 en une 1 Ω. f : z → ez admet une singularité essentielle en Example 1.3. la fonction z = 0. Démonstration

Exercices - Nombres complexes : corrigé Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice 1 - - L1/Math Sup On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : √ √ √ −4(1 − i 3) −4(1 − i 3) √ √ = = −1 + i 3. Z= 1+3 (1 + i 3)(1 − i 3) Pour mettre sous forme trigonométrique, on met le module en facteur : √ √ 1 3 = 2ei2π/3 . |Z| = 1 + 3 = 2, d’où Z = 2 − + 2 2 Pour calculer Z 3 , on utilise cette dernière forme et il vient Z 3 = 23 e3i2π/3 = 8. Exercice 2 -

Table des mati`eres 1 Nombres r´ eels et complexes 1.1 1 Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Axiomes d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Axiome de compl´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Les nombres naturels . . . . . .

3 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Racines carrées, équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 Argument et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 2 : Calculs avec des nombres complexes et des fonctions usuelles. Polynˆmes de o Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 3 : Une bonne base pour des endomorphismes de trace nulle. . . . . . . . . . . . . Pb 4 : Polynˆmes sym´triques ´l´mentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e ee Pb 5 : Coefficients du binˆme. Nombre d’op´rations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Pb 6 : Astro¨

Terminale S Nombres complexes Exercices corrigés 1. 1. Qcm 1 1. 2. Qcm 2 1. 3. Qcm 3 1. 4. Qcm 4, Am. Nord 2005 - 4 points 1. 5. Qcm 5, N. Caledonie 2005 - 4 points 1. 6. VRAI-FAUX 1 - Fesic 2001 ex. 12 1. 7. VRAI-FAUX 2 - Esiee 1999 1. 8. VRAI-FAUX 3 - Esiee 1999 1. 9. Divers, Polynésie 2007 - 4 points 1. 10. Orthog. alignement, France sept 2006 - 5 pts 1. 11. Barycentres, La Réunion 2007 - 5 points 1. 12. Rotation et triangle, France sept 2010 1. 13. Rotation et carré, Polynésie 2005 - 5 points