Dm Nombre Complexes

Exo7 Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire Exercice 1 Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈ R) les nombres : 3 + 6i 3 − 4i Indication Correction ; 2 1+i 2−i + 3 + 6i 3 − 4i ; 2 + 5i 2 − 5i + . 1−i 1+i Vidéo [000001] Exercice 2 Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : 1. Nombre de module 2 et d’argument π/3. 2. Nombre de module 3 et d’argument −π/8. Indication Correction Vidéo Exercice 3 Calculer le

Correction Interrogation 1 - les vecteurs - 2D4 (1 heure) I°- Questions de cours - Répondez sur votre copie. (5 points) 1°) Soit le vecteur . Quel nom donne-t-on au point A ? (0.25) Le point A est l'origine du vecteur . Quel nom donne-t-on au point B ? (0.25) Le point B est l'extrémité du vecteur . 2°) Si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati, alors, que peut-on dire des deux vecteurs et ? (1) Les vecteurs et sont égaux. 3°) Expliquez

Représentation analytique d’une droite de l’espace 18 8 Les nombres complexes 8.1 Introduction aux nombres complexes . . . . . 8.2 Calculs avec les nombres complexes . . . . . . 8.3 Equation du second degré à coefficients réels 8.4 Module et argument d’un nombre complexe 8.5 Propriétés du module et des arguments . . . . 8.6 Lien avec le plan complexe . . . . . . . . . . . . 8.7 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Nombres complexes et transformations . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Nombres complexes Née pour résoudre des équations, la théorie des nombres complexes est devenue un incontournable de la science. On en retrouve des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique. En effet pour traiter un problème réel on peut être amené à « plonger » ce problème dans les nombres complexes, où la résolution sera plus simple, pour ensuite « redescendre » dans les réels et conclure le raisonnement. C’est le cas pour la résolution d’équations différentielles

− 4z + 5 = 0. Déterminons donc les racines complexes du polynômes du second degré z 2 − 4z + 5 : ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4 = (2i)2 < 0 Donc le polynôme z 2 − 4z + 5 a deux racines complexes conjuguées : √ −b − i −∆ 4 − 2i 2 (2 − i) = = =2−i et z2 = z1 = 2 + i z1 = 2a 2 2 S = {2 − i; 2 + i} : les points du plan ayant pour image le point d’affixe 5 sont les deux points d’affixes 2 − i et 2 + i. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′ + 4 = (z − 2)2 . 2 2 ′ (z −

Les limites de la fonction aux bornes de son intervalle de définition sont : \lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = - \infty\qquad\text{et}\qquad\lim\limits_{x \to + \infty}\ln(x) = + \infty. C'est donc une bijection de ]0,+∞[ sur ℝ. Son nombre dérivé au point 1 (qui donne la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées (1,0)) est : \lim\limits_{h \to 0}\frac{\ln(1+h)}h=1. La fonction logarithme naturel comme fonction logarithme Article détaillé : Identités logarithmiques

(1) :a2 (2) :::an (n) où xj = n X i=1 2Sn aij ei ,8 j 2 [[1; n]] Preuve : Notation : Soit (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 E n ; B = (e1 ; :::; en ) une base de E, et : xj = n X i=1 aij ei ; 8j 2 [[1; n]] : On convient d’écrire le nombre detB (x1 ; :::; xn ) sous forme d’un tableau carré limité par deux barres verticales, la jeme colonne de ce tableau étant formé des coordonnées du vecteur xj relativement à la base B: C’est à dire : detB (x1 ; :::; xn ) = a11 a12 ::: a1n

On appelle équation du second degré une équation de la forme a x² + b x + c = 0, où a, b et c sont trois réels donnés, avec a différent de 0. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x telles qui rendent cette égalité vraie. Ces nombres sont appelés "solutions de l'équation ou "racines du polynôme" (on peut aussi dire par abus de langage racines de l'équation). 2) Cas particuliers (rappel de seconde) a) Si c = 0 On peut mettre x en facteur, d'où x (a x + b) = 0, ce qui donne

les deux nombres complexes z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}} et z'=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}. 1. La forme algébrique de z est égale à : a) z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3} b) z=1+\mathrm{i}\sqrt{3} c) z=2+\mathrm{i}\sqrt{3} d) z=\sqrt{3}-\mathrm{i} 2. Le nombre complexe z' est le nombre complexe : a) opposé de z b) inverse de z c) conjugué de z d) opposé du conjugué de z 3. Le nombre complexe z \times z' : a) est un nombre réel

Mathematiques ´ Nombres complexes, trigonometrie Sommaire Nombres complexes, trigonom´trie e Sommaire I Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . I.1 D´finition de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e I.2 Notation cart´sienne . . . . . . . . . . . . . . . . e I.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5 Fonctions ` valeurs complexes . . . . . . . . . . . a II Argument, exponentielle complexe . . .