Dérivée

free.fr/ http://quedisentleseconomistes.blogspot.com/ Outils mathématiques à connaître : 1) Etude d’une fonction : - calcul de la dérivée première (fonction croissante si f’(x)≥0 et décroissante si f’(x)≤0) - calcul de la dérivée seconde (fonction convexe si f’’(x)≥0 et concave si f’’(x) )≤0) - recherche des extremums : recherche des points d’annulation de la dérivée et définition du type d’extremum (maximum si f’’(x)<0 et minimum si f’’(x)>0) 2 2) Résolution d’un programme de maximisation Exemple

le note f ' (a) Si la variable représente une durée alors le nombre dérivé est une vitesse instantané. Equation de la tangente : y=f’(a) X (x-a) + f(a) Fonction dérivé : Def : Soit f une fonction définie sur un domaine Df. On appelle la fonction dérivée de f = f' ; la fonction qui à chaque valeur de x associe son nombre dérivé f ' (x) Ex : si f(x)=x² alors f '(x)=2x Remarque : Il existe parfois des valeurs de x par laquelle il n'y a pas de nombres dérivés. On dit que f n'est pas dérivable pour ces

fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement croissante sur . Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par : ex  ey Û x  y (Voir illustration, figure 1) Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 31 31 Calcul différentiel élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∈]a,b[, on a f (x0 ) = 0 et f (x0 ) = 0 , / la fonction f présente un extrémum local en x0 . C'est un maximum si f (x0 ) < 0 , un minimum si f (x0 ) > 0 . 28 Analyse en 30 fiches 5 Application Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par : 1 f (x) = x sin pour x = 0 et f (0) = 0. / x Solution / Pour x = 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et 1 1 1 f (x) = sin − cos · x x x Étudions la dérivabilité

   cos ( a + b ) = cos a × cos b ‒ sin a × sin b sin ( a + b ) = sin a × cos b + cos a × sin b .     []‒ ; [] ;]. 4 4 4 4 1 . cos2 (2x) Proposition 7 : La fonction peut être définie sur l'intervalle ] ‒ ; ‒ Proposition 8 : La dérivée de la fonction f est la fonction f ' définie par f '(x) = page 2 sur 6 Exercice 2 (5 points) 1. On considère l'expression f(z) = z3 ‒ 6z2 + 12z ‒ 16 . a. b. Calculer f(4) . Déterminer les réels a , b et c tels que, pour tout nombre complexe

fonction objectif, on ajoute à la fonction coût la fonction de contrainte, multipliée par un Page 2 coefficient λ indéterminé : L = ∑ Ci(Pi) + λ ( ∑ PL + pertes - ∑ Pi ) (10) L’équation (10) qui est la fonction de Lagrange est minimisée lorsque la dérivée première par rapport à chaque variable indépendante est annulée. On a donc pour chaque production Pi la condition d’optimalité suivante : λ. –λ=0 (11) Donc λ= Le facteur 1 /( (12) ) est appelé facteur de pénalité. L’optimum économique est obtenu

5 f est dérivable sur , et f ¢( x ) = 10 x - 3 f ¢(2) = 17 f (2) = 16 T : y = f ¢(2)( x - 2) + f (2) T : y = 17 x - 18 6 a) f est une fonction dérivable sur I. Si la dérivée est positive sur I, alors la fonction f est croissante sur I. Si la dérivée est négative sur I, alors la fonction f est décroissante sur I. Si la dérivée est nulle pour toutes valeurs de I alors la fonction f est constante sur I. b) g est dérivable sur . g ¢( x ) = 6 x 2 - 6 x g ¢( x ) = 6 x( x - 1) x g¢ g –∞ 0 + 0 1

x (lorsque x tend vers + \infty , t tend vers - \infty ) x^n e^x = (- t)^n e^{- t} = (- 1) \times \dfrac{t^n}{e^t} d'où \displaystyle \lim_{x \to + \infty} x^n e^x = \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \(- \dfrac{t^n}{e^t} \) = 0 IV. Dérivée de {e^{u}} - Primitive associée Si u est définie et dérivable sur I de \mathbb{R}, la fonction f(x) = e^{u( x)} est définie et dérivable sur I et f'(x) = \left(e^{u( x)} \right)' = u'(x) e^{u(x)} De manière générale : \left(e^{u}\right)' = u'e^u

question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandé. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5]. On note f ′ la fonction dérivée de f . y 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 1. Sur l’intervalle [−5 ; 5] : a) f est une fonction de densité de probabilité c) f n’est pas continue b) f est positive d) l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions 2. Sur l’intervalle