Dérivée

mathématiques n°3 Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer que est solution de l’équation différentielle + 2 = 3 . et

  ln,ln, car log croît sur   et ln   ,,  car ln,  Donc le nobre de dossiers à traiter est au iniu de  EXERCICE1 : 1) La courbe représentative de la fonction dérivée   de la fonction  est en-dessous de l’axe des abscisses s ur [] ce qui équivaut à pour tout [],   .  2) Par le même argument, comme la courbe est au- dessus de l’axe des abscisses sur[2] ,on a pour

coefficient directeur 1, donc f’(1) = 1 Or ? ! 1 = 1   ⟺ 3? − 2? = 1 ⟺ ? = 1. Donc ? ? = ?? − ?? − ?  ?? ?! ? = ??? − ??. 2. ? ? = ? ! − ? ! − 1  et ? ! ? = 3? ! − 2? = ?(3? − 2) Sens de variation : !   ? ! ? = ?(3? − 2), les valeurs qui annulent la dérivée sont 0 et ! , on retrouve les renseignements 1 et 3. Donc ? ! ? est positive à l’extérieur des racines. 2 ? ! ? > 0  si  ? ∈ I = −∞; 0  et  si  ? ∈ J = ; +∞ 3 f est monotone croissante sur I et sur J 2 ? ! ? < 0  si  ? ∈ K = 0; 3 f est monotone décroissante

lim be−0,04t = 0 et donc t →+∞ t →+∞ lim h(t ) = a = 2 . – De plus h(0) = 0, 1. a 2 Or h(0) = soit 0, 1 = d’où b = 19 . 1+b 1+b On obtient donc h(t ) = Partie 2 2 . 1 + 19e−0,04t 1. f (t ) = 1, 52e−0,04t 1 + 19e−0,04t 2 . La dérivée de f est donc strictement positive sur [0 ;250] et donc f est strictement croissante sur cet intervalle. 2 2. On cherche alors à résoudre l’inéquation f (t ) > 1, 5 soit > 1, 5. 1 + 19e−0,04t 1 On obtient 0, 5 > 28, 5e−0,04t ⇐⇒ > e−0,04t . 57 La fonction

logarithme népérien et g la fonction composée ln(f). 2. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g, noté Dg ? a. b. [-5 ; 2] c. [0 ; 2[ 3. Quelle est la valeur de g(0) ? a. g(0) = 2 b. g(0) = 0 c. g(0) = ln(2) 4. On note g’ la fonction dérivée de la fonction g. Quelle est la valeur de g’(1) ? a. g’(1) = e b. g’(1) = 0 c. g’(1) = - 1 5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ? a. lim g(x) = - b. lim g(x) = 0 c. lim g(x) = + x2 x2 x2 Partie B : chaque réponse doit être

1°S Démonstrations de la dérivée d’une somme, d’un produit , de l’inverse et d’un quotient Page : 1 I) Dérivée d’une somme La fonction u + v est dérivable sur I et on a : (u + v)’(x) = u’(x) + v’(x). Démonstration. Soient u et v des fonctions dérivables sur un intervalle I. Pour tout a de I on a :  ( u + v)(a + h ) − ( u + v)(a)   u (a + h ) − v (a + h ) − u (a ) − v (a)   u ( h + a) − u (a) v (a + h ) − v (a)  +  = =  h h h h       Or u et v sont dérivable en a. Donc on aura

solutions de cette équation différentielle sont les fonctions du type f(x) = ke5x où k est un réel. On sait de plus que f(0) = ke5 × 0 = k = 3. La seule fonction solution est donc la fonction f définie par f(x) = 3e5x. 6 C Il est possible de calculer la dérivée dans le cas général avant de remplacer les deux paramètres a et b par leur valeur. On a f’(x) = – 2a e–2x. Ainsi, pour tout x réel, f’(x) + 2f(x) = – 2a e–2x + 2a e–2x + b = b. Pour toute valeur de a, la fonction est solution à condition que b = 3

proportionnel à x2 – x1, comme le donne l’égalité : f(x_2) - f(x_1) = a (x_2 - x_1). Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient a : a = \frac{f(x_2) - f(x_1)} {x_2 - x_1} si x1 ≠ x2. Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est une fonction constante : le coefficient directeur de la fonction affine. L'ordonnée à l'origine b peut se calculer de la manière suivante : b=\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_2-x_1} si x1 ≠ x2. Exemples Abonnements

la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). 3. Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. 1. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² 2. h définie sur par h(t) = + + 3. i définie sur ]0 :+ [ par i(x) = 4 + - (² Exercice 3 (3.5 points) j est

Exercices : Dérivée d’une fonction  Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur  : a – f ( x ) = 2x² - 7x + 9 b – f ( x ) = 3x² - 4x - 5 c – f ( x ) = 3 - 4x d – f ( x ) = x ² +4 x +3   Exercice 2 : Déterminez l’équation de la tangente à la courbe ( C )représentant la fonction f au point A d’abscisse xA dans les cas suivants : a – f ( x ) = x² + 3x - 12 xA = 5 b – f ( x ) = x3 - 3x + 6 xA = 1   Exercice