Dérivée

Baccalauréat ST2S Le tableau de signe de la fonction f ′ , dérivée de la fonction f , est : 4 x −3 −2 0 4 3 2 A ✓ 1 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 B ✒ −2 f ′ (x) x − 0 + 0 − −3 f ′ (x) −3 x −4 f ′ (x) −1 2 4 + 0 − 0 + −3 −1 2 4 ✏ ✑ − 0 + 0 − C −5 Si la fonction f est croissante (resp. décroissante) sur I , alors la fonction dérivée f ′ est positive (resp. négative) sur I . Question 5-b Pour

tend vers 0 4. FONCTION DERIVEE Définition: Soit f une fonction dont l'ensemble de définition sera désigné par D f . Soit I un intervalle inclus dans D f , sur lequel f est dérivable (c'est-à-dire que f admet un nombre dérivé en tout a ∈ I ). Alors on peut définir une fonction qui, à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x, noté f '( x) . Cette fonction est appelée fonction dérivée de f sur I, et est notée f ' . Memento mathématiques 1ère S T.Joffredo Dérivées des fonctions usuelles: Si

[pic] 3.3.2. [pic]soit [pic] EXERCICE 4 ; Étude de la fonction, solution particulière de l'équation différentielle (9 points) 4.1. On considère la fonction f définie sur [0 ; 120] par f[pic] 4.1.1. Fonction dérivée [pic] 4.1.2. Signe de la fonction dérivée [pic] : [pic]> 0 pour tout x donc[pic]> 0 sur l’intervalle considéré. 4.1.3. Tableau de variation : voir annexe. 4.1.4. Tableau de valeurs : voir annexe 4.1.5. Représentation graphique c : voir annexe

+∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente Limites usuelles La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré

soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 f est continue sur un intervalle I, si f est continue en tout point x0 de I Limites usuelles La limite d'une

( ) et de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 14 Exercice 15. 1. Calculer un développement limité à l’ordre au voisinage de ( ) ( ) de : 2. En déduire qu’on peut prolonger cette fonction par continuité en prolongée admet une dérivée première en . 3. Calculer un développement limité à l’ordre 4 au voisinage de ( ) ( ) ( ) et que la fonction ainsi de : Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16. Justifier l’existence et calculer le développement limité à l’ordre

démonstration Elle est assez difficile donc pas de découragement surtout ! On peut s’aider d’un schéma pour visualiser car on utilise les propriétés géométriques des courbes de ln x et de ex . Les pré requis La fonction exponentielle est dérivable , sa dérivée est elle-même Les courbes des fonctions ln x et ex sont symétriques par rapport à la première bissectrice . Les formules de calcul avec ln x La démonstration On note C la courbe de e x et C’ la courbe de ln x . Soit D la première bissectrice

mais aussi dérivabilité. Propriété : La fonction exponentielle est égale à sa dérivée. Autrement dit, quel que soit le nombre x, exp’(x) = exp(x) = ex. Démonstration : (elle sera détaillée en cours) exp(a+h) – exp(a) eh – 1 Soit a ∈ℝ. exp’(a) = lim = ea× lim = ea×exp’(0) = ea×1 = ea. h h→0 h→0 h Remarque : on peut démontrer que la fonction exponentielle et ses multiples sont les seules fonctions égales à leur dérivée. Propriétés de l’exponentielle connaître : • exp(0) = 1 et exp(1) = e. • l’exponentielle

1/ Rappels Définition  : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R qui a pour dérivée elle-même et qui prend la valeur 1 en 0. D’un point de vue pratique,  cette définition et les premiers résultats qui en découlent peuvent être résumés ainsi : La fonction exponentielle, notée exp  : - est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R. - pour tout x : exp’ (x) = exp (x) - pour tout x : exp (x) > 0 - exp (0) = 1 ces résultats ont été vus en détail

Exponentielle 2 Lecture graphique d’une pente = TMS 3 Comportement à long terme = les Limites 4 Equations – Inéquations : théorème des valeurs intermédiaires Leçon 3 : Calcul différentiel – Dérivées Partielles page 10 1 Dérivées partielles – différentielle et interprétation en économie 2 Fonctions de Cobb – Douglas - TMS - Elasticités Leçon 4 : Optimisation sous contrainte – Lagrangien page 13 1 méthode