Dérivée extérieure

autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courEn physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage

bac sur la fonction ln Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer 30 − 10x que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) = . x 2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant

+∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente Limites usuelles La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré

et Morgenstern (1947) définissent ce qui a été convenu d’appeler la fonction d’utilité Von Neumann-Morgenstern (VNM) : une telle fonction d’utilité respectant ces axiomes de comportement est une fonction croissante de la richesse de l’individu. Sa dérivée première est alors positive : Ensuite, Von Neumann et Morgenstern élaborent le théorème de l’utilité espérée : confronté à un ensemble de lignes d’actions aux résultats aléatoires ou de manière plus générale à un ensemble de loteries, un individu

Fonctions de référence Ces exercices sont proposés pour un travail en autonomie. Les exercices 1 à 8 peuvent être traités dès à présents. Rappels sur les fonctions affines Exercice 1 : Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions affines, donner leur coefficient directeur m et leur sens de variations. 5 1. f (x) = 2 − x 3 4 3 (x − 1) − 3 2. g (x) = 3 5 2x 2x + 1 4. k(x) = 3 5. m(x) = − 3. h(x) = 3x 2 6. n(x) = x 2 − (x − 1)2 Exercice 2 : Déterminer

Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x = −x 2−3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . 2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 7 7 3 Compléments sur la fonction exponentielle 3.1 Dérivée de la fonction eu . . . . . . . . . 3.2 Exemples types . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fonctions d’atténuation . . . . . 3.2.2 Chute d’un corps dans un fluide 3.2.3 Fonctions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x'(t0) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t0. Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t0 et t1 qui est . II. Fonction dérivée 1. Définition La fonction dérivée est la fonction f ' : x f '(x). Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f '(x) et la fonction dérivée f ' (comme il ne faut pas confondre f (x) et f). 2. Propriétés Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables

Correction [000738] Exercice 12 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction [000740] Pn (t) 1/t e t 2n Retrouver cette

INTRODUCTION Le mouvement d’un pendule simple est un mouvement pseudopériodique. Le pendule simple parfait est défini comme suit : une boule de masse M et de rayon R accroché à un fil de masse m et de longueur l. Si on tire la masse M jusqu’au point B en formant l’angle θ0 et on la laisse, la pendule commence un mouvement oscillatoire. A la fin de ce TP, nous déterminerons la gravité terrestre «g». PARTIE THEORIQUE 1-Donnons l’équation différentielle dans le cas du pendule simple réel :