Dérivée extérieure

Synthèse de cours (Terminale ES) Continuité, limites Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Exemples fondamentaux Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Le théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 1 : Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) :. Montrer que la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par est une solution de l’équation différentielle (E). On considère l’équation différentielle (E’) : . Résoudre l’équation différentielle (E’). Soit une fonction définie et dérivable sur. Montrer que la fonction`est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement

................................................................. 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..................................................................................... 15

: f ' = f et f (0) = 1. 1- Propriétés préliminaires a) Une fonction f dérivable sur
, telle que f ' = f et f (0) = 1 ne s'annule pas. Démonstration Soit h la fonction définie par h(x) = f (x).f (-x). Cette fonction est dérivable sur
, sa dérivée est h' (x) = f '(x) × f (-x) + f(x) × f '(-x) × (-1); comme f '(x) = f (x) et f '(-x) = f (-x), on trouve h'(x) = 0. La fonction h est donc constante, et pour tout réel x, h(x) = h(0) = f (0) × f (0) = 1. Ainsi, pour tout réel x, f (x).f (-x)

DÉRIVATION RAPPELS ET COMPLÉMENTS 1 I . Nombre dérivé, Fonction dérivée Dans tout ce paragraphe, f est une fonction dénie sur un intervalle I de R, C f est sa courbe représentative dans un repère ¡ O; ¡!i , ¡!j ¢ et a est un élément de l'intervalle I. I - 1 . Définitions et théorème Dénition : f est dérivable en a si et seulement si l'une ou l'autre des deux propositions équivalentes est réalisée : – la fonction h 7¡! f (a + h) ¡ f (a) h a une limite nie ` en 0, ou encore que la

Fonctions Nombre Dérivé – Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines : l’étude des fonctions. L’objectif de ce chapitre est principalement de pouvoir déterminer les variations d’une focntion sans représentation graphique ! Lorsque nous étudierons des fonctions cout ou bénéfice, nous serons alors capables de déterminer le maximum de f, son minimum, les productions

 L( e jt  e  jt 2 ) 1 1 s L(e jt )  L(e  jt )  2 2 2 s 2 d)- Dérivées : La dérivée première est obtenue par : La dérivée seconde : La dérivée troisième : L  f t  = s2 L  f t   s. f 0   f 0  = s 2Fs  s f 0 f 0 L f L  f t s L  f t  f 0 = sF(s) f(0)  t  =L .s  f t   s . f 0  s. f 0  f (0) 3 3 2 Généralisation aux dérivées d’ordre n : Supposons que f(t), et ses dérivés f k (t) , pour k=1,2,..,n sont continues

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges Droites du plan, étude analytique élémentaire         équation y = ax + b , forme ax + by + c = 0 , équation paramétrique , équation normale             droites perpendiculaires , distance d'un point à une droite Dans un repère du plan, toute droite est caractérisée par une relation algébrique entre l'abscisse et l'ordonnée de ses points : c'est

mesure l’utilité tirée de la consommation d’un bien x, alors, l’utilité marginale est : (dans le cas où le bien x n’est pas divisible, x représentant une quantité unitaire du bien x) et dans le cas d’un bien divisible. On notera Um = , qui est la dérivée première de la fonction d’utilité (et qui représente la pente de la tangente au point considéré) Illustration tirée de GAF : Quantité de x consommé Utilité totale Utilité marginale 1 30 30 2 50 20=50-30=U(2)-U(1)=U/x 3 65 15=65-50=

déterminer sa dérivée. 2) Application f est la fonction définie sur par et C sa courbe représentation graphique dans un repère. a) Déterminer la fonction dérivée de f. b) Déterminer une équation de la tangente T2 à C au point d’abscisse 2. c) Déterminer la position relative de C et de T2 Exercice 2 : (10 points) Justifier que f est dérivable sur I et déterminer la fonction dérivée de f dans les