Degré Baumé

Polynôme du premier degré A] Equation du premier degré L’équation : ax + b = 0 admet comme solution unique si a ≠ 0 S = {- } a b B] Signe d’un polynôme du premier degré Soit le polynôme P(x) = ax + b, pour étudier son signe, il suffit de chercher la valeur qui l’annule et de dresser le tableau de signes : x P(x) -∞ Signe de –a b a +∞ Signe de a 0 Dès que vous avez une inéquation à résoudre, il faut obligatoirement faire une étude de signes. III] Polynôme du second degré A] Equation du

rectangle ABCD un carré ABOR. 1 Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle ORDC. A R D B O C Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ? [On se ramènera à une équation du second degré] c) On note  cette valeur. Déterminer  – 1 ;  ( – 1) et 1 . Que remarque-t-on ?  1S1 Exercice DM2 pour le samedi 8 octobre 2011 On appelle format f d'un rectangle le quotient de la longueur L par la largeur . ( f  L /  ) 3

Excel activité 1 – Résolution d’un équation du second degré. Consignes. * Objectifs : Composer une feuille de calcule qui permette de calculer les solutions d’une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0. 1. Résoudre l’équation en tenant compte de la valeur du déterminant : ∆ = b²-4*a*c Si ∆0, il faut afficher deux racines calculées à l’aide de la formule : x₁ et x₂ =-b±b2-4ac2a Si ∆=0, il faut afficher la racine double calculée à l’aide de la formule : x=-b2a 2. Etablir

#»  u0 u3 ×× u2×u4 −1 O #» ı × 1 × 2 u1 −1 1 2. Soit ϕ la racine positive de l’équation x = 1 + x . Calculer ϕ. x=1+ 1 x+1 x2 − x − 1 ⇐⇒ x − = 0 ⇐⇒ = 0 ⇐⇒ x2 − x − 1 = 0 x x x 1+ 5 2 x2 − x − 1 est un trinôme du second degré avec ∆ =√ (−1)2 − 4 × 1 × (−1) = 5. Ce trinôme admet donc deux √ √ racines réelles distinctes x1 = > 0 et x2 = 1− 5 2 < 0. On pose donc ϕ = 1+ 5 . 2 3. Sans utiliser la valeur de ϕ trouvée dans la question précédente, mais seulement la relation

− 4| |3t − 1| = . 3 12 + 12 + 12 Un point de (d) est donc équidistant de (ABC) et de (BCD) (et donc de ABD) et (ACD)) si et seulement si : (3t − 1)2 |3t − 1| ⇒ t2 = |t | = ⇐⇒ 3t 2 = 9t 2 + 1 − 6t ⇐⇒ 6t 2 − 6t + 1 = 0 3 3 Cette équation du deuxième degré a un discriminant égal à 36−24 = 12 > 0. Elle a donc deux solutions. Il existe donc deux points de la droite (d) équidistants des trois plans (ABD), (ACD) et (BCD), mais il peut en exister d’autres. E XERCICE 4 1. On a d(M, P ) = z+ 1 4 2 1 1 =

d'équation :x²+x+y²-11 y+18=0 (équation b)x²+2 x+y²-4 y=0 (équation a)---------------------b-a ==&gt;x=18-7*y que l'on reporte dans l'équation de C2 (x+1)²+(y-2)²=5 ==&gt;(19-7*y)²+(y-2)²-5=0 ==&gt; 50*y²-270*y+360=0 ==&gt;5*y²-27*y+36=0 polynôme du second degré qui admet deux racines y=12/5 et y=3Ces valeurs reportées dans l'équation de C2 conduisent à x=-3 et x=6/5Pour le point de tangence {-3,3} on obtient 3=-3*m+9 ==&gt;m=2 et l'on retrouve la tangente d'équation y=2*x+3 et pour pour le point de tangence

POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes Définitions : Soit a un nombre réel non nul et n un entier naturel. • La fonction f définie sur R par f ( x ) = axn est une fonction monôme de degré n. L’expression ax n est appelée monôme de degré n. • On appelle fonction polynôme, une somme de fonctions monômes. • On appelle degré d’un polynôme, le degré le plus élevé de la variable x. Exemples : II) Fonction polynôme du second degré Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme, toute

2 Problème : Partie A 1. P est la fonction définie sur R par P(x) = 4x3  6x²  2 P(x)  (x  1)Q(x) où Q est une fonction polynôme du second a) Montrer que -1 est une racine de P. b) En déduire une factorisation de P(x) sous la forme degré à déterminer. c) Etudier le signe de P(x) . 2. On définie sur  la fonction g par repère. g(x)  x4  2x3  2x  1 et on appelle C g la courbe représentative de g dans un a) Etudier, à l’aide de la question 1), les variations de la fonction g

Polynômes factoriels On note ℝ [X ] la ℝ algèbre des polynômes réels en l’indéterminée X . Pour n ∈ ℕ , ℝ n [X ] désigne le sous-espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆

ln(1 − 3x ) − ln x 1 3 < f) ln x − ln x 2 √ 3 g) e x > 5 h) e −x e −3x+1 i) e 2x + e x − 3 > 0 k) 4x 4 − 16 j) 2048x 2 − 1024x − 1024 l) x 4 + 14x 2 + 49 m) 6x 4 − 16x 3 + 10x 2 o) x 4 − 1 n) (3x + 7)2 − (2x + 9)2 Equation du second degré Exercice n˚ 14 Résoudre dans C les équations : b) iz 2 + iz + 1 + i = 0 a) 2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0 c) (1 − i)z 2 − (5 − i)z + 10 = 0 Exercice n˚ 17 Factoriser les polynômes suivants. a) x 3 + 1 b) x 3 − 6x 2 + 11x − 6 c) 4x 3 + 12x 2 +