Convexité

les espaces de Banach Sauf mention du contraire, on consid` re dans toute la section un espace de Banach r´ flexif e e V de dual (topologique) V . On note la norme de V et ·, · le crochet de dualit´ entre V et e V V . A.1.1 Semi-continuit´ et convexit´ de fonctionnelles sur V e e D´ finition A.1.1 Une fonction J de V dans R ∪ {+∞} est semi-continue inf´rieurement (sci) sur V e e si elle satisfait aux conditions equivalentes : ´ – ∀a ∈ R, { u ∈ V | J(u) ≤ a } est ferm´ e – ∀¯ ∈ V, u lim inf J(u)

est élevée. * La pente des CI est nécessairement négative. * Deux CI ne peuvent jamais se couper. L’objectif du consommateur est d’atteindre la CI la plus éloignée de l’origine. Toutefois, il est contraint financièrement. O. YOUSFI 18 b/ La convexité des préférences Selon cette hypothèse, le consommateur aime la diversification. En considérant 2 paniers A et B situés sur la même CI, le consommateur préfère tous les paniers intermédiaires composés à partir d’une moyenne pondérée des deux paniers

éclairant convenablement le fond de l'œil. L'intérieur du globe oculaire est rempli par un ensemble de milieux transparents. En arrière de la pupille se trouve le cristallin : de forme biconvexe, il peut se déformer légèrement et modifier ainsi sa convexité grâce à l'action de petits muscles. Outre le cristallin, l'œil contient des substances gélatineuses auxquelles on donne le nom d'humeurs. ( humeur aqueuse en avant du cristallin, humeur vitrée entre le cristallin et la rétine) Q1 : Utiliser les informations

vers le Nord-Ouest (diminuer x1 mais augmenter x2 ) ou le Sud-Est e (la r´ciproque) car sinon on va soit augmenter les 2, soit les diminuer ensemble et donc augmenter e ou diminuer u. La pente des courbes d’indiff´rence est donc n´gative. e e 5.2.2 Convexit´ des pr´f´rences e ee Les courbes d’indiff´rence sont suppos´es convexes, car on suppose que le consommateur e e pr´f`re la diversification. Il pr´f`rera donc un m´lange des deux biens x1 et x2 que les cas ee ee e extr`mes A et B de la Figure 3

2.CARACTERISTIQUES DE LA DERMATITE ATOPIQUE Aspects cliniques, symptômes et complications de la dermatite atopique La DA débute des les premières semaines de la vie par une atteinte symétrique prédominante sur les convexités du visage et des membres , elle touche avec prédilection les plis de flexion. Le grattage des zones en question conduit à une rougeur, un gonflement, des fissurations, avec un liquide clair, et enfin, la formation de croûtes et une desquamation

excursions s’élève à 80$. Comment cela modifiera-t-il votre choix ? Question 1.7. Variation sur la courbe de demande et déplacement de la courbe de demande : quelle différence ? Question 1.8. Définir mathématiquement la notion de convexité. Expliquez ce que sont les hypothèses de convexité relatives au consommateur. 7 TD 2 – FIXATION DE LA NORME D’EFFICACITE ET DE L’IDEAL DE JUSTICE A. CHOIX DU CRITERE D’EFFICACITE Question 2.1. Quels critères d’efficacité connaissez-vous ? Lequel est généralement utilisé

60 15 21 Utilité D 15 30 30 15 Utilité E 9 18 9 9 Utilité F 16 19 19 19 1) Quelles fonctions d’utilité ne vérifient pas l’hypothèse de monotonie des choix ? 2) Montrez que la fonction d’utilité du consommateur B ne respecte pas l’hypothèse de convexité des préférences (analytiquement et graphiquement) si l’hypothèse de monotonie des choix est vérifiée. Exercice 3 : Fonction d’utilité, courbe d’indifférence et taux de substitution Soit un individu qui préfère, quel que soit le panier de bien qu’il

mesure que la richesse augmente. Tandis que dans le cas où l‘étudiant manifeste un goût pour le risque, sa fonction d’utilité est convexe et sa pente augmente avec l’accroissement de la richesse de l’étudiant. Résumé partiel : La concavité ou la convexité de la fonction d’utilité attendue décrit l’attitude du consommateur à l’égard du risque. Si la fonction est concave, le consommateur manifeste de l’aversion pour le risque ; si elle est convexe, le consommateur manifeste du goût pour le risque.

situés sur une portion croissante d’une courbe d’indifférence, ils seraient indifférents alors que l’un est plus gros que l’autre, ce qui est contraire à l’axiome précité). L’hypothèse concernant les courbes d’indifférence est qu’elles tournent leur convexité vers l’origine (le point 0). Le graphique 4 montre deux courbes d’indifférence. La courbe I contient un ensemble de paniers tous indifférents entre eux mais auxquels sont préférés tous les paniers de la courbe II (démontrez pourquoi). Sur la courbe

de degré 0 par rapport aux x. Par conséquent si x = (x1 , ..., xA ) le vérifie alors (λx1 , ..., λxA ) également pour tout λ 6= 0. Ceci vaut notamment donc pour le portefeuille z = (z1 , ..., zA ) défini par : xa za = PA A X a=1 a=1 La stricte convexité de la fonction objectif assure l’unicité de la solution. En raison de P l’existence d’un actif certain, A xa = 1 − x0 , et n’est pas nécessairement égale à 1. Une a=1 xa , a = 1, ..., A et vérifiant par construction : A X a=1 za =