Continuité

n |x - y|  ak+1 - ak  b-a n Choisissons un pas plus fin que h, obtenu pour les entiers n qui vérifient : Calcul intégral. Page 13 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ æb-aö n  Eç ÷+1 è h ø |x - y|  h Ainsi : De la continuité uniforme de ¦, on déduit : |¦(x) - ¦(y)|  e Cette dernière inégalité étant valable pour tous x et y de [ak, ak+1]. En particulier pour un x tel que ¦(x) = Mk et un y tel que ¦(y) = mk (existent bien car ¦ atteint ses bornes) : Mk - mk 

continue sur ℜ. Elle est dérivable et sa dérivé F’(x) est continue sur ℜ sauf, éventuellement, en un nombre fini de points de discontinuité. * En tout point « x0 » de continuité d’une densité f, la fonction F est dérivable avec : F’(x0) = f(x0). * Toute fonction positive f sur ℜ qui coïncide avec « F’ » en tout point de continuité de F’(x) est une densité de probabilité de la variable aléatoire X. * xlim F ( x) = 0 . → −∞ x → +∞ lim F ( x) = 1 . Exemple : Déterminer la fonction de répartition

e e e Xn convergent ´troitement e (Ω, A, P ). On dit que (Xn ) converge en loi vers X ou les lois P X vers P , si l’une des quatre conditions ´quivalentes suivantes est v´rifi´e : e e e e 1. limn→ F Xn (t) = F X (t) pour tout point de continuit´ t de F X 2. limn→∞ R; Φ(Xn )dP = Φ(X)dP pour toute fonction continue born´e Φ de R dans e e 3. limn→ φXn (t) = φX (t) pour tout r´el t ; 4. Il existe un espace probabilis´ (Ω , A , P ) sur lequel sont d´finies des variables al´atoires

faut tracer e e la courbe enveloppe des moments fl´chissants (voir la m´thode de Caquot). e e 7.3.4 Effort tranchant Pour d´terminer la valeur de l’effort tranchant aux appuis, ce dernier est calcul´ e e en faisant abstraction de la continuit´, sauf pour les appuis voisins des appuis e de rive. En notant V0i la valeur absolue de l’effort tranchant sur les appuis de la trav´e isostatique de r´f´rence i, les valeurs absolues de l’effort tranchant aux e ee appuis sont d´termin´s de fa¸on

Rappelons la notion de discontinuité de première espèce. Définition 3.2.2 Une fonction f admet une discontinuité de première espèce en un point x0 si les limites à droite et à gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcément égales sauf en cas de continuité.) Théorème 3.2.1 ( Dirichlet) Soit f : R → R une fonction périodique de période T = 2π satisfaisant aux conditions suivantes (appelées conditions de Dirichlet) : D1) Les discontinuités de f (si elles existent) sont de première espèce et sont en

D´ecembre 2007 CAPES 2007 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette le¸con est celui du Deug. Pr´ e-requis 1. Continuit´e, d´erivabilit´e, in´egalit´e des accroissements finis, th´eor`eme de Rolle, d´erivabilit´e d’ordre sup´erieur, int´egration. 2. Pour les applications : s´eries enti`eres. 1 Formule de Taylor avec reste int´ egral 1.1 Th´ eor` eme Th´ eor` eme 1.1 Soit f : [a, b] → IR une fonction de classe C n+1 . On a: n f (b) = f (a) + f (k)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.2 D´rivabilit´ (cas x ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4.3.3 Int´grabilit´ (cas x ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4.4 Propri´t´s de la somme d’une s´rie enti`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee e e 4.4.1 Continuit´ sur DR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e

Chapitre 2 : COMPLÉMENT SUR LES FONCTIONS DÉRIVATIONS ET CONTINUITÉ I. Dérivation 1) Rappels : définitions Soit C une courbe Soit A un point fixé de C. La tangente T à C en A, si elle existe, est la position limite d'une courbe = (AM) lorsque M tend vers A. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Soit Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. Soit a un point appartenant à I. Si C admet un point d'abscisse à une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées, f est dite

M´diane, ´cart moyen minimum. Compl´ments et e e e exercices. e e CHAPITRE 9. Fonctions g´n´ratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D´finitions. Propri´t´s. Sommes de variables al´atoires. Le th´oe ee e e r`me de continuit´. Compl´ments et exercices. e e e 79 99 e CHAPITRE 10. Mesures de Stieltjes-Lebesgue. Int´grale des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 e e Mesures. Mesures de Stieltjes-Lebesgue

convergence est : R = . 3 √ √ 3 3 3 La série est absolument convergente pour tout |x| < et divergente si |x| > . 3 3 2.3 Propriétés Ce paragraphe étudie les propriétés de continuité, de dérivabilité et d’intégrabilité de la fonction somme des séries entières. 25 M r A  N -E  SÉRIES ENTIÈRES 2.3.1 Continuité d’une série entière Proposition 2.3.1 Soit an xn une série entière de rayon de convergence R et soit ∞ n=0 f :] − R, R[−→ R la fonction définie par f (x) = an xn