Bolzano

admet sur [α, β] une unique e e e e solution. Comme la fonction nulle est une solution, f est donc la fonction nulle. 2. Dans le cas g´n´ral (xn ) est une suite born´e de r´els. On peut en extraire une sous-suite e e e e convergente (th´or`me de Bolzano-Weierstrass) et se ramener au cas pr´c´dent. Le th´or`me e e e e e e pr´c´dent n’est cependant pas au programme de PSI (me semble-t-il). . . e e 3. x → cos(x) est solution sur R de y + y = 0 et s’annule une infinit´ de fois. e Exercice 3. Partie

Supposons que c’est faux, c'est-à-dire qu’il existe [pic] tel que [pic]. Pour chaque [pic], on peut donc introduire [pic] tels que [pic] et [pic]. Donc [pic] est une suite bornée d’éléments de K. D’après le théorème de Bolzano–Weierstrass, on peut donc en extraire une suite [pic] qui converge vers [pic]. Or, pour tout [pic], [pic], donc par passage à la limite, [pic], c'est-à-dire que [pic]. De plus, la suite [pic], extraite de [pic], converge vers 0 puisque

Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires 5) Suites récurrentes 6) Suites homographiques IV : Comparaison des suites numériques 1) Suites

existe une suite (yn )n∈N telle que ∀n ∈ N, yn ∈ H et b) n→+∞ x0 − yn = d(x0 , H) . On a ∀n ∈ N, yn = yn − x0 + x0 yn − x0 + x0 et la suite x0 − yn n∈N est born´e e puisqu’elle converge donc la suite yn n∈N est aussi born´e. Le th´or`me de Bolzano-Weierstrass donne e e e alors l’existence d’une suite (yϕ(p) )p∈N extraite de (yn )n∈N qui converge dans E. Mais, quand E est de dimension finie, tous ses sous-espaces vectoriels sont ferm´s donc H est ferm´. Comme ∀p ∈ N, yϕ(p) ∈ H, e e on a z0 =

commanditaires des Jeux olympiques d'été de 1984. Elle perd de l’argent pendant les jeux « quand l’Amérique gagne, vous gagnez » après le boycott des jeux par les nations du bloc soviétique. En 1985, McDonald's ouvre en Italie, dans la ville de Bolzano. Un établissement plus récent à Rome imposa de nouveaux standards pour les décors intérieurs. Un an plus tard, le premier McDonald's ouvre en Turquie, dans la ville d’Istanbul (Quartier Taksim). Le premier ministre de Turquie, Turgut Özal, fait le

……………………………………………………………………… ……… ………….. ……………………………………………………………………… ………….. 15 EUROPEAN LANGUAGE PORTFOLIO / PORTFOLIO EUROPÉEN DES LANGUES Council of Europe / Conseil de l’Europe Annexe 7 PEL pour 14 à 19 ans, Italie, Val d’Aoste et Bolzano (N° 101.2009) 16 EUROPEAN LANGUAGE PORTFOLIO / PORTFOLIO EUROPÉEN DES LANGUES Council of Europe / Conseil de l’Europe Annexe 8 PEL pour 15 ans et +, Editions Didier et CRDP de Basse-Normandie (France), (Nr. : 5.2000 rév. 2006) 17

commanditaires des Jeux olympiques d'été de 1984. Elle perd de l’argent pendant les jeux « quand l’Amérique gagne, vous gagnez » après le boycott des jeux par les nations du bloc soviétique. En 1985, McDonald's ouvre en Italie, dans la ville de Bolzano. Un établissement plus récent à Rome imposa de nouveaux standards pour les décors intérieurs. Un an plus tard, le premier McDonald's ouvre en Turquie, dans la ville d’Istanbul (Quartier Taksim). Le premier ministre de Turquie, Turgut Özal, fait le

Brescia. Jours 6-9 : Brescia, le lac de Garde et Vérone. A mi-chemin entre Bergame et Vérone, se trouve Brescia. Besoin de souffler ? Le lac de Garde tombe à pic. Une fois les batteries rechargées, Vérone est proche. Jours 10-11 : Bolzano. Situé dans le Haut-Adige, Bolzano est une ville paisible, entourée de hauts plateaux boisés et non loin de la chaîne des Dolomites. Jours 12-14 : Udine. La dame du Frioul vous donnera un aperçu d’une région agricole rustre en apparence mais tellement attachante.

remplacé par un gouvernement d’unité national, avec à la tête une grande personnalité politique des années 40/50 ; Alcide DE GASPERI, c’est l’un des fondateur de la démocratie chrétienne, élevé dans une double culture italienne et autrichienne, car né à Bolzano, il sera à la tête de 7 gouvernements italiens entre 1945 et 1953, année de sa mort. C’était un catholique très pratiquant, et très lié au Vatican, et intéressé aux problèmes sociaux, fin diplomate, il mènera les négociations à la table de paix de

compacte est compacte Prop : Si E  E1  E2  ... Ep est un espace vectoriel normé produit , et si pourtout i, Ai est une partie compacte de Ei , alors A  A1  A2  ... Ap est une partie compacte de E 2°) Le cas de la dimension finie : Th de Bolzano - Weierstrass ( 1781-1848 et 1815-1897 ) De toute suite bornée de réels , on peut extraire neu sous-suite convergente ( MPSI ) Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie , les parties compactes de E sont les parties fermées et bornées