T5. Correction du Ds1.
Exercice 1 (7 points)
D´terminer la limite des suites suivantes (on justifiera soigneusement les r´ponses) : e e
1
1. pour tout n 1, un = ( √ − 3)(n2 + 5n). n 1
1
lim √ = 0, donc lim √ − 3 = −3. n n lim n2 = +∞, et lim 5n = +∞.
Donc par somme, lim n2 + 5n = +∞.
1
Par produit, lim( √ − 3)(n2 + 5n) = −∞. n lim un = −∞.
2. pour tout n
Pour tout n

0, un =
1,

2n − n2
.
3n2 + 1

2n − n2
3n2 + 1
2
n2 ( − 1) n =
1
n2 (3 + 2 ) n 2
−1
= n
1
3+ 2 n un =

2
− 1 = 0 − 1 = −1. n 2
Et lim 3 + 2 = 3 + 0 = 3. n 1
Par quotient, lim un = − .
3
√
4 n + sin(n2 )
.
3. pour tout n 1, un = n Un sinus est toujours compris entre -1 et 1.
Pour tout n 1,
Or, lim

−1
√
4 n−1
√
4 n−1
√n
4 n−1 n sin(n2 )
√
4 n + sin(n2 )
√
4 n + sin(n2 ) n un

1
√
4 n+1
√
4 n+1
√n
4 n+1 n √
√
4 n−1
4 n+1
On ´tudie la limite de e et
.
n n √
4 n−1
4
1
4
1
Pour tout n 1,
= √ − . Donc lim √ − = 0 − 0 = 0. n n n n
√n
1
4
4 n+1
=√ + .
Pour tout n 1, n n n
4
1
Donc lim √ + = 0 + 0 = 0. n n
D’apr`s le th´or`me des gendarmes, lim un = 0. e e e
1

4. pour tout n 0, un = n × (−1)n − n2 .
Pour tout n 0, −1 (−1)n 1.
On en d´duit que e −n n(−1)n n
−n − n2 un n − n2

Or, n − n2 = n(1 − n).
Comme lim n = +∞ et lim 1 − n = −∞, par produit, on a lim n − n2 = −∞.
Par comparaison, lim un = −∞.
Exercice 2 (13 points)
Sur un site de partage de vid´os en ligne, la chaˆ de Jimi a 50 000 abonn´s. e ıne e On admet que chaque ann´e, 10 % de ses anciens abonn´s ne maintiennent pas leur abonnement e e
(les autres le conservent), et que dans le mˆme temps, il arrive 15 000 nouveaux abonn´s. e e
On note a0 = 50, et pour tout n 1, on note an le nombre d’abonn´s (en milliers) a la chaˆ e ` ıne e de Jimi la ni`me ann´e. On se propose d’´tudier la suite (an ) suivant deux m´thodes. e e e 1. Justifier que pour tout n 0, an+1 = 0, 9an + 15. an+1 est le nombre