DST 1S 28/01/2012

NOM :

Exercice 1 (trigo)
Exercice 2 :
Soit f ( x ) = x +

4 points

2 et voici sa représentation x y
12
11
10

graphique :

9

Cf

8
7
6
5
4
3
2
1

1. Montrer que f ( 2 + h ) − f ( 2)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

h +1
.
h h+2 2. En déduire que f est dérivable en 2 et déterminer f ' ( 2 ) .
=

3. Déterminer une équation de la tangente en 2 à C f .
4. Tracer cette tangente sur le graphique.

Exercice 3 :

3 points

Ci-contre le graphique d’une fonction f et quelques-unes de ses tangentes.

On ne demande pas de justifications.
1) Compléter :

f ' ( −2 ) = f '(0) =

f ' ( 2) = f ' ( 4) =
2)

Valeurs de ‫ݔ‬
Signe de ݂ ᇱ (‫)ݔ‬

1

Exercice 4 :

12 points

I.
R.O.C : u et v sont deux fonctions dérivables sur I.
1. Compléter les formules suivantes :
« Pour tout réel ‫ ݔ‬de I, si ݂(‫ )ݔ(ݒ × )ݔ(ݑ = )ݔ‬alors ݂ est dérivable et
݂ ᇱ (‫)ݒ × ݑ( = )ݔ‬ᇱ (‫___________________________________________ = )ݔ‬
Si de plus pour tout réel ‫ ݔ‬de I, ‫ ≠ )ݔ(ݑ‬0 alors ݃(‫= )ݔ‬

ଵ

௨(௫)

est dérivable sur I et

ଵ ᇱ

݃ᇱ (‫ = )ݔ‬ቀ ቁ (‫» _____________________________ = )ݔ‬
௨

2. A l’aide de ces deux formules, citer puis démontrer la formule permettant de dériver une fonction ℎ définie sur I par ℎ(‫= )ݔ‬

II.

௨(௫)
௩(௫)

(en supposant que pour tout réel ‫ ݔ‬de I, ‫ ≠ )ݔ(ݒ‬0)

Etude d’une fonction rationnelle : Soit f ( x ) =

x2 − x
.
x2 +1

1. Justifier que f est définie et dérivable sur IR
2. Montrer que f ' ( x ) =

x2 + 2x −1

(x

2

+ 1)

2

3. Déterminer le tableau de signe de ݂ ᇱ (‫)ݔ‬, puis en déduire les variations de f .

4. Préciser les extremums locaux de f à 10ିଶ près.
5. Déterminer l’équation de la tangente en 0 à C f
6. Montrer que pour tout réel ‫ݔ‬, ݂(‫ )ݔ‬+ ‫= ݔ‬

௫²(ଵା௫)
௫ మ ାଵ

puis en déduire les positions de C f par rapport à la

tangente précédente.
7. Déterminer les points d’intersections de C f avec l’axe des abscisses.
8. Bonus : Tracer la courbe représentative de f sur [ −7; 7 ] et de ses tangentes.

2

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Eléments