Variable indépendante

NOTION DE VARIABLES ALEATOIRES I. DEFINITION Une variable aléatoire X est une variable associée à une expérience ou à un groupe d'expériences aléatoires et servant à caractériser le résultat de cette expérience ou de ce groupe d'expériences. On distingue les variables aléatoires discontinues ou discrètes et les variables aléatoires continues. II. VARIABLE ALEATOIRE DISCONTINUE 2.1. Définition Une variable aléatoire est discrète si elle varie de façon discontinue, la variable ne peut prendre

6.2.3 6.2.4 6.2.5 6.2.6 6.3 6.4 6.5 Variables aléatoires Définition d’une variable aléatoire Variables aléatoires finies Représentation d’une loi de probabilité finie Espérance mathématique d’une variable finie Variance et écart-type d’une variable finie Loi de probabilité produit Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartition Variables infinies dénombrables (hors programme) Variables aléatoires continues Extension de la notion de variable aléatoire 4/179 Biostatistique -

retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 8 3 changement de variables 3.1 activité . . . . . . . . 3.2 à retenir . . . . . . . 3.3 exercices . . . . . . . . et loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Evénements indépendants. Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de voir se réaliser l’événement A ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement B. La probabilité de voir se réaliser l’événement B ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de l’événement A. p(A) = p(A/B) = p(A/non B) p(B) = p(B/A) = p(B/non A) Deux événements A et B sont donc indépendants si : p(A et B) = p(A)  p(B) Plusieurs événements A1, A2, …, Ak sont indépendants si : p(A1

identiques et indépendantes Exemples : 1) On lance un dé plusieurs fois de suite et on note à chaque fois le résultat. On répète ainsi la même expérience (lancer un dé) et les expériences sont indépendantes l'une de l'autre (un lancer n'influence pas le résultat d'un autre lancer). 2) Une urne contient 2 boules blanches et 3 boules noires. On tire au hasard une boule et on la remet dans l'urne. On répète cette expérience 10 fois de suite. Ces expériences sont identiques et indépendantes. Définition

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 On lance un dé parfait et on considère les événements suivants : A = "le nombre obtenu est divisible par 2" B = "le nombre obtenu est divisible par 3" Les événements A et B sont-ils indépendants ? Exercice 2 Soient 6 jetons numérotés de 1 à 6. On en choisit 3 au hasard. Quelle est la probabilité que la somme des numéros des trois jetons choisis dépasse (strictement) celle des jetons restants ? Exercice 3 On lance un dé (bien équilibré) six fois de

raison des caractères représentatifs de celui-ci, les observations effectuées sur l’échantillon permettent d’estimer la distribution et les caractéristiques de la population de référence. I Avantage des enquêtes par sondage : A Les coûts : Coût variable ou à la rigueur modéré par rapport à celui des enquêtes exhaustives. B les temps d’enquêtes : La rapidité de la mise en œuvre de toutes les procédures offre beaucoup d’avantage aux enquêtes par sondage. C Précision et richesse des observations

est • La loi de Bernoulli de paramètre ……… est Issue ???? ???? Issue ? ?̅ Probabilité ? ? ? ? Probabilité ? ? ? ? 3) Schéma de Bernoulli DEFINITION : Un SCHEMA DE BERNOULLI est une répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. EXEMPLE : Une urne contient 3 boules rouges et 1 boule verte. On tire successivement et AVEC REMISE 3 boules de l’urne. Pour chacun des tirages, obtenir une boule verte est considéré comme un succès. On représente cette situation à l’aide de l’arbre

169 170 172 175 175 176 177 177 177 10 Appendice : Mémento sur les martingales 179 11 Appendice : Mémento sur la théorie ergodique 181 Introduction Les suites de variables aléatoires présentant une structure de dépendance markovienne sont probablement, après les suites de variables aléatoires i.i.d., l'une des catégories d'objets les plus étudiées en probabilités. Elles jouent un grand rôle à la fois dans la théorie et dans les applications, et ont fait l'objet de développements

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Variable Aléatoire Discrète (une seule) Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.A.: à usage unique . . . . . . . . . . . . . Une partition naturelle de l’Univers . . . Fonction de Probabilité . . . . . . . . . . . Fonction d’une V.A. . . .