Variable indépendante

On considère X1, . . . , Xn ,n variables aléatoires indépendantes et de même loi, de moyenne m et d'écart type s. Soit alors = m et = s 1.2 Deux théorèmes fondamentaux Th 1 : Loi faible des grands nombres Soient X1; X2 ; . . . Xn n variables aléatoires indépendantes et de même loi de moyenne m alors la variable aléatoire vérifie pour tout réel positif e : Signification: Lorsque n devient très grand, le nombre de valeurs de la variable aléatoire Yn qui sont éloignées

conditionnelles Est-ce que la réalisation d’un des 2 évènements a une influence sur la réalisation du second ? H : « homme » F : « femme » A : « achat » ̅ : « pas d’achat » Formule des probabilités conditionnelles : ) ( ) Si les évènements sont indépendants, la réalisation de B ou non n’a aucun impact sur la réalisation de A. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) Représentation en arbre A P(F) F ̅ ( ) ( ) ( ) ( ̅) ( ̅ ) ( ) H P(H) A ̅ ( ) (

(n, p), alors : E[X] = np & Var(X) = np(1 − p) = npq. Autrement dit, la somme de 2 variables binomiales indépendantes et de même paramètre p suit elle aussi une loi binomiale de paramètre p (voir le corrigé de l’exercice 2.9). Le lien Bernoulli-Binomiale rend ces formules élémentaires : l’espérance est linéaire dans tous les cas et la variance l’est ici puisque les variables X1 , . . . , Xn sont indépendantes. La propriété suivante découle d’ailleurs du même raisonnement :  X ∼ B(n, p)  Y ∼

variabilité des conditions d’expérience : on écrira y = f HxL + ! , où ! est une variable aléatoire. Chapitre 7 : La régression linéaire 107 1. La droite des moindres carrés 1.1. Nuage des individus Le problème est d’étudier l’influence d’une variable quantitative X sur une autre variable quantitative Y . La première est souvent appelée variable explicative (ou encore exogène) et la seconde est appelée variable expliquée (ou encore endogène). Pour résoudre ce problème, on a réalisé une expérimentation

O BTS cgo Exercice 1 A : « le bulbe présente le défaut a » B : « le bulbe présente le défaut b » 1. 2. Corrigé de l’épreuve de 2009 A – Evénements indépendants A et B indépendants p(A) = 0,015 p(B) = 0,02 E1 : « le bulbe présente le défaut a et le défaut b » P(E1) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 0,015 x 0,02 = 0,0003 (événements indépendants) E2 : « le bulbe présente au moins un des deux défauts » P(E2) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,015 + 0,02 – 0,0003 = 0,0347 P(E1) = 0,0003 P(E2)

9 mai 2012 au début de l'heure Exercice 1. Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5. On tire au hasard, successivement et avec remise 10 boules dans l'urne. On appelle succès, lors d'un tirage, l'apparition de la boule numérotée 1. 1 VARIABLES 2 S EST_DU_TYPE NOMBRE 3 x EST_DU_TYPE NOMBRE 4 i EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 S PREND_LA_VALEUR 0 7 POUR i ALLANT_DE 1 A 10 8 DEBUT_POUR 9 x PREND_LA_VALEUR floor(1+5*random()) 10 SI (x==1) ALORS 11 DEBUT_SI 12 S PREND_LA_VALEUR S+1 13

Présentation adéquate pour traitement ultérieur Données aberrantes, manquantes, non réponses, Vérification des données Modification des données Description Traitement des hypothèses outliers, etc. Recodage, transformation, remplacement, création de variables Indices descriptifs : tendance centrale, dispersion, etc. Selon la méthode utilisée et les hypothèses posées : choix des tests adéquats (vérification de leurs conditions d’application) Rappels Exemple Mise en forme des données Patient vu pour

Conditionnement et indépendance............................................................ Variables aléatoires réelles ................................................................... Généralités. Loi d’une var ........................................................................... Espérance mathématique ........................................................................... Var indépendantes....................................................................................... Fonction

. . . . . . . . . . . 1.4 Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés de l’espérance et de la variance . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 3 3 4 5 7 2 Probabilité conditionnelle 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Représentation par un arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 8 9 3 Loi binomiale 3

pétrolifère, la probabilité qu’un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d’un forage peut être assimilée à une épreuve de Bernoulli. 2) On effectue 9 forages. a. Quelle hypothèse doit-on formuler pour que la variable aléatoire correspondant au nombre de forages qui ont conduit à une nappe de pétrole suive une loi binomiale ? b. Sous cette hypothèse, calculer la probabilité qu’au moins un forage conduise à une nappe de pétrole. En donner la valeur à 10 près