Variable aléatoire réelle

3) A et B sont deux événements indépendants de  Ω  si p( A ∩ B ) = p(A).p(B)  Variable aléatoire   ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini  Soit X une variable aléatoire définie sur  Ω   On note X( Ω ) L’ensemble image de  Ω par X   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗   On appelle loi de probabilité de X l’application  p X : Ω → [ 0, 1] x → p(X=x i )       Conséquence  Si X une variable aléatoire définie sur  Ω  tel que   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p

Partie B : Calcul d’une intégrale On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l’intégrale suivante : 4 2. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. I= f (x) dx. α 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie)

= 1 - p. Le prix a une probabilité réelle p de monter et 1 - p de descendre. En t = 0, on ne dispose d’aucune information : [pic] En t = 1, on sait si l’actif est monté ou descendu : [pic] Cette tribu représente l’ensemble des parties de Ω dont on puisse dire à l’instant t = 1 si elles sont réalisées ou non. Bien sûr, on a F0 C F1, en effet plus le temps avance plus l’on acquiert de l’information. Une variable aléatoire est F1-mesurable si et seulement si

les informations de court terme et de long terme obtenues. Enfin, ce mémoire présente une alternative au calcul classique des provisions à travers l’obtention d’une distribution à l’aide d’une modélisation stochastique, en effectuant des tirages aléatoires sur la durée de vie des adhérents. L’obtention d’une telle distribution nécessite l’utilisation de technique de simulation telle la méthode de Monte Carlo et des générateurs de loi uniforme ou normale. L’analyse de ces distributions et l’application

0 4. Recopier et compléter au dixième près le tableau suivant : X F(x) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 En déduire une valeur approchée à 0,5 près de la solution à f(x) = 0 Partie B algorithme Voici un algorithme : Variable : A est un nombre entier. Début : Affecter 3 à la variable A. Tant que f(A ) < 0 A prend la valeur A + 0,1 Fin tant que Afficher A - 0,1 et A 1. Faire fonctionner l' algorithme . Qu'obtient on? 2. Quelle est la signification des réponses données par l’algorithme. 4 4,5 5

à ses frais pour un coût de 58 €. On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euros, réalisé par l’entreprise à la vente de cet objet. (a) Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euros) : 50 ; 12, 50 ; 5 et −8. (b) Démontrer que la probabilité pour qu’un objet présente le seul défaut S est 0, 04. (c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fonction d’une variable réelle, première partie 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Une idée intuitive de limite... . . . . . . 3.1.2 Limite en a, a ∈ R . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Limite en +∞ . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Limite en −∞

que lorsque h tend vers 0 , o ( h ) est négligeable par rapport à h . EXEMPLES 2u2 - u3 = o ( u ) 1 - cos u = o ( u ) sin u ≠ o ( u ) 1.1.2. Espérances mathématiques conditionnelles Soit { B1 , B2 , . . .} une partition de l’univers et X une variable aléatoire discrète de distribution pn = p ( X = xn ) . alors d’après le théorème des probabilités composées on a p n = ∑ p( X = x n B k ) p( B k ) pour tout n ∈ N k De même si X est continue de densité f ( x ) on obtient  f ( x ) = ∑ f ( x B k )

sciences mathématiques, USB N.R.Gueye 1/26 5.1 Introduction. Ce présent chapitre sera consacré à l’étude de la relation entre deux variables quantitatives. L’objectif sera donc d’étudier conjointement deux variables quantitatives X et Y issues d’une même population. On cherche plus précisément : à savoir s’il existe un lien entre ces deux variables? à savoir comment mesurer cette liaison, si elle existe? à trouver une fonction (on verra seulement le cas linéaire) qui nous permet de déterminer

X désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de X . b. On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3. Calculer la probabilité notée p n , d’avoir exactement un billet gagnant parmi des deux choisis. 2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier bilet tiré avant de tirer le second. a. On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le nombre