Valeur propre

A d’un triangle de cˆt´s a, b, et c. Utilisez 3 chiffres oe significatifs (choisissez troncature ou arrondi et indiquez votre choix) pour d´terminer la e surface d’un triangle de cˆt´s a = 8.97, b = 5, et c = 4. Quelle est l’erreur relative si la oe valeur exacte est A = 1.63? Expliquez vos resultats. A= √ s(s − a)(s − b)(s − c) avec s= a+b+c 2 1 Exercice 2 (25pts) x + ln x = 0. Equations non-lin´aires. S´parez les racines de l’´quation e e e (2) Ecrivez l’it´ration de Newton pour calculer

(C), on note A = (ai,j )1 i n,1 j p lorsqu’on veut pr´ciser les ´l´ments de A ; e ee e ee quand le contexte est clair, on ´crit simplement A = (ai,j ) ou A = (Ai,j ). e . Pour A ∈ Mn (C), σA d´signe le spectre de A, c’est-`-dire l’ensemble des valeurs propres de A et ρ(A) = e a max {|λ| ; λ ∈ σA }. MOHAMED SAHROURDI 3 CPGE - Mohammedia 0 Bk+1 = Bk (I + Rk ) o` Rk = I − ABk . Calculer u converge ves A−1 . TD de maths 1. On munit Cn de la norme Niveau:MP soit z = max |zj |. j=1,...

= (−X − 14)(X 2 − 14X + 49) + 321X − 1906 = −X 3 + 468X − 2592 = (6 − X)(X 2 + 6X − 432) = −(X − 6)(X − 18)(X + 24) . Les valeurs propres de A sont donc 6, 18 et −24 ; des calculs simples montrent que les sousespaces       i −i i propres correspondants sont respectivement engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux

≥ n. Autre solution. D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, p 2 p p 1 × ni i=1 p p ≤ i=1 12 i=1 n2 i (∗). Comme u est diagonalisable, on a i=1 1 × ni = n et i=1 n2 = dim(C(u)) et d’autre part, p est le nombre de valeurs propres i deux à deux distinctes ce qui impose 1 ≤ p ≤ n. Donc, (∗) ⇒ n2 ≤ p × dim(C(u)) ⇒ dim(C(u)) ≥ Remarque. L’inégalité dim(C(u)) ≥ n2 n2 ≥ = n. p n n2 est plus précise que l’inégalité dim(C(u)) ≥ n. p 6. Si u est l’endomorphisme de Cn dont

vérifie P2 , P3 , P5 (et P6 ) et pas les autres propriétés de la liste. I.B.1) Soit T ∈ L une matrice triangulaire inférieure. Sa dernière colonne contient au plus un coefficient non nul : tn,n . On a donc T en = tn,n en . Ainsi en est un vecteur propre de T . Par conséquent la droite W = Vect(en ) est stable par T (pour tout x = λen ∈ W , on a T x = λT en ∈ W ), donc L ne vérifie pas P6 , car la droite W est un sous-espace non trivial stable par tous les éléments de L. I.B.2) L’ensemble des

int´grable et f sa transform´e de Fourier. e e T |x| 2iπtx ˆ Pour tout T > 0 et pour tout t ∈ IR, on d´finit fT (t) = e 1− f (x) dx. e T −T +∞ sin2 (πT s) 1 1) D´montrer que fT (t) = 2 e (f (t + s) + f (t − s)) ds. π T 0 s2 +∞ sin2 u 2) Calculer la valeur de I = du. u2 0 3) Supposons f born´e. Montrer qu’en tout point t ∈ IR o` f (t+ ) et f (t− ) existent, on a : e u lim fT (t) = 1 (f (t+ ) + f (t− )). 2 T →+∞ T Preuve. 1) fT (t) = −T T 1− |x| 2iπtx e−2iπxuf(u) du dx. On peut appliquer

Pˆle Kerichen-Vauban PCSI 2 o Du 29 mars au 2 avril 2010 Programme de colle N° 22 XX. Espaces vectoriels K d´signe le corps R ou C e I. Structure d’espace vectoriel 1. D´finition d’un espace vectoriel e 2. D´finition d’une alg`bre e e II. Sous-espace vectoriel 1. D´finition e 2. L’intersection de sev est un sev III. Somme de deux sev 1. D´finition e 2. Somme directe 3. Sous-espaces suppl´mentaires e IV. Sous-espace engendr´ par une partie e V. Espace vectoriel produit VI. Applications lin´aires

Université P. & M. Curie Le 12 janvier 2008 o R2 → R3 . Partie I : Questionnaire N 1 5  1 3 L'image de 2 2 est 3 1  1 Le noyau de 1 2 3 3 2 1 est : a une droite de R3 ne passant pas par 0 b R3 tout entier c un plan contenant (1, 1, 1) d un plan contenant (−12, −24, −36) e une droite contenant (1, 3). a une droite de R3 contenant (1, −2, 1) b un plan de (3, −1). R3 contenant (1, 1, −1) c un sous-espace vectoriel de R2 contenant 2 La famille ((0,

Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/MC2/node2.html Sous-sections • • • • • • Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration par MuPad QCM corrigé Matrices diagonales Nous nous plaçons dans ou , avec . Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne

canonique e = {e1 , e2 , e3 }. f est l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle