Valeur propre

n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice 3 Soit M la matrice de R4 suivante [002579]  0 2 M= 0 0  1 0 0 0 −1 0  7 0 6 0 3 0 1. Déterminer les valeurs propres de M et ses sous-espaces propres. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4. On a D = P−1 MP, pour k ∈ N exprimer M k en

structures mécaniques à N d.d.l I.1 – INTRODUCTION L’analyse modale expérimentale des structures mécaniques a pour objectif essentiel la détermination des caractéristiques dynamiques d’une structure réelle, c'est-à-dire les fréquences, modes et formes propres ainsi que les amortissements modaux. Cette discipline a connu un essor important ces derrières années en raison de la miniaturisation et de l’augmentation des performances des systèmes informatisés d’acquisition et de traitement numérique des signaux

vecteurs linéairement indépendents. 1. Soit A diagonalisable. Cela veut dire que A admet n vecteurs propres Vi linéairement indépendents, associés à n valeurs propres λi ∈ K, non nécessairement distinctes ; cela est aussi équivalent à dire que A = P DP −1 où P est une matrice dont les colonnes sont formées par les vecteurs propres de A et D est une matrice diagonale ayant sur la diagonale les valeurs propres de A. Alors, les n fonctions t → eλi t Vi sont, à chaque instant t, linéairement indépendent et

SESSION 2010 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC MATHEMATIQUES 1 PARTIE I A) 8−λ 4 −7 8−λ 4 −8 −4 − λ 8 = (1 − λ) = (1 − λ)(λ2 − 4λ) = −λ(λ − 1)(λ − 4). Par suite, f admet −8 −4 − λ 0 0 1−λ trois valeurs propres simples à savoir 0, 1 et 4 et on sait que f est diagonalisable. 1) χf = 2) Soit v = (x, y, z)  R3 . ∈  8x + 4y − 7z = 0 −8x − 4y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E0 = Ker(f) ⇔  z=0 z=0 . Donc E0 = Vect(v1 ) où v1 = (1, −2, 0). y = −2x   x − z = −4y  7x + 4y − 7z = 0 y=0 7 •

1. Valeurs propres et vecteurs propres d’endomorphisme a. Droite stable Problème : Soit une droite, on cherche une CNS pour que D soit stable par . b. Valeurs propres Définition : Soit , est dite valeur propre de si \ Définition : {Valeur propre de } s’appelle le spectre de f et il est notée c. Vecteurs propres – sous espaces propres Définition : , est dit vecteur propre de f si , \ Lemme : Dans ces conditions, le est unique. Définition : On dit alors que est la valeur propres associé

Reconnaissance de visage TIPE Table des matières : Introduction 3 1- La reconnaissance de visage 4 1.1- Les faces propres : la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 1.2- Les faces propres : l’implantation pratique . . .. . . . 9 2 -L’interface graphique 15 2.1- Fonctionnement général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2- Implantation python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Conclusion ANOUAR BAYARI MPSI 3 20 Page 2 Reconnaissance

principales A.C.P. Plan • Présentations d’exemples • Représentation multidimensionnelle des données • Analyse des données – Analyse des lignes – Analyse des colonnes – Analyse conjointe lignes / colonnes • Valeurs caractéristiques – Inertie – Valeurs propres, vecteurs propres, … – Cosinus carrés, contributions, … • Traitement d’exemples Exemple : Production agricole dans l’union européenne Collecte de lait de vache Pêche : captures totales 37 2 077 361 231 1 344 885 418 830 524

J 2 − Jz (Jz − 1). (16) (17) (18) -1.4. Valeurs propres de J 2 et Jz Les valeurs propres de J 2 sont positives. En effet, J x , J y et J z sont des op´rateurs hermitiques, ce qui e implique que pour toute fonction ψ 2 ψ|Jx |ψ = Jx ψ|Jx ψ ≥ 0. (19) Ceci implique que J 2 est un op´rateur hermitique positif. J 2 , qui est une somme de tels op´rateurs, l’est e e x donc ´galement. e Notons |j m un vecteur propre de J 2 et Jz , de valeur propre j(j + 1) positif et m respectivement : J 2 |j

obtenons ainsi l’équation aux valeurs propres • Comme la matrice variance-covariance est symétrique définie positive, les valeures propres sont réelles positives • Les vecteurs propres peuvent être choisis orthonormés LINF 2275 Stat. explor. multidim. 10 Recherche de la projection de variance maximale (suite) • La variance des observations projetées s’écrit alors • Et donc la solution est de projeter les données sur le vecteur propre ayant la valeur propre λ la plus élevée LINF

Si les stimuli en entrée sont deux à deux orthogonaux, c'est à dire si:          xiT * xj = 1 pour tout i#j          On a:          Ce qui signifie que les xk sont les vecteurs propres de la matrice W ayant pour valeurs propres 1 (on dit qu'un vecteur x est un vecteur propre de la matrice W et de valeur propre c si W * x = c * x). 7-3-3 Stimuli quelconques          Dans ce cas on a:          Comme ci-dessus (voir 7-2-2-2), le cosinus peut s'interpréter comme une ressemblance. Si des