Type abstrait

Probabilités : Loi numérique Asie 2009 Correction de l'exercice Une association propose à ses adhérents une sortie payante, Les adhérents peuvent choisir d'emporter leur pique-nique ou de payer à l'association un supplément pour le repas. Le tableau ci-dessous donne les différents tarifs suivant l'âge des adhérents. catégorie A : adultes (plus de 18 ans) B : jeunes de 10 à 18 ans C : enfants de moins de 10 ans prix de la sortie 20 € 15 € 8 € prix du repas 6 € 5 € 3 € L'association

Propri´t´ 15 Pour des ´v´nements non disjoints, l’additivit´ devient e e e e e P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B]. En revanche, on n’a pas en g´n´ral d’expression pour la probabilit´ de l’intersection. En partie e e culier, on n’a pas de factorisation du type P[A ∩ B] = P[A] · P[B]. Lorsque cela sera le cas, on dira que les ´v´nements A et B sont ind´pendants. e e e 2.2.2 Equiprobabilit´s e D´finition 15 Les ´v´nements ´l´mentaires sont dits ´quiprobables, si toutes les probabilit´s e e e ee e e

Sharpe 0,56 0,56 0,86 0,55 0,20 0,17 0,42 0,57 0,70 0,85 Er 11,51% 10,29% 14,30% 12,23% 2,80% 6,67% 11,26% 12,73% 14,21% 16,25% volatilité 15,55% 13,47% 13,45% 18,40% 5,18% 12,75% 13,61% 17,23% 22,10% 29,50% equipondéré marché optimal moyenne écart-type 5,00% 25,00% 50,00% 75,00% 95,00% Le paradoxe de Markowitz Explications Sans prise en compte du risque d’erreurs d’estimation, l’optimisation conduit alors à parier excessivement sur des outliers qui ne sont que des mirages D’où « l’optimisation

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 ( voir d'autres diag en boites avec une autre échelle dans le fichier odt DIAGRAMME EN BOITES Exo3 p 75 janv2010) 5. Variance - Ecart-type: La variance notée V est le nombre : V = L'écart-type noté  est égal à  V . x ∑ ni× x i−  2 Ce sont des paramètres de dispersion qui permettent de dire si les valeurs sont proches de la x moyenne  (ce qui correspond à une petite valeur de  ) ou si les valeurs sont

0,03 X 0,06 = 0,0018 P(AnD̅) = P(D̅) X PD̅(A) = 0,97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience de type succès-échec où le succès est d’obtenir un sac dans défaut et qui a une probabilité de 0.97. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 10 ; 0,97 2. P(X=10) = 0,9710X0,030 = 1X0,9710X1 = 0,74

de la variabilité la plus utilisée est l'écart-type (ou volatilité) ou encore la variance. Exemple : Estimation du risque d'un titre Période Rentabilité R-Rm (R-Rm)² 1 10,00% 6,00% 36 2 7,00% 3,00% 9 3 3,00% -1,00% 1 4 5,00% 1,00% 1 5 -5,00% -9,00% 81 Rentabilité moyenne : Rm = 4% → ( 10 + 7 + 3 + 5 – 5 ) / 5 Variance = ( R – Rm )² / 5 = 128/5 = 25,6 Ecart-type = √25,6 = 5,06% Le calcul de l'écart-type nous permet de comparer la volatilité des titres

2. Si X admet une espérance, on appelle variance de X, lorsqu’elle existe, l’intégrale [t− −∞ E(X)]2 .f (t)dt = E [X − E(X)]2 . 3. Si X admet une variance, on appelle écart-type de X le réel σ(X) = V (X). Remarques : 1. Si X admet une variance, celle-ci est positive (car f l’est) : donc l’écart-type de X existe. 2. Si X n’admet pas d’espérance, X ne peut pas admettre de variance. Exemple 6 Soit f la fonction définie sur R par :     f (x) = 0 si x < −1 ou x > 1 f

convenue entre les parties ou désignée par le tribunal qui sera réputée donner le résultat juste et donc retenue pour trancher. Ainsi, connaître une méthode, la valider, n'est pas seulement mesurer sa fidélité à travers une estimation de l'écart-type, mais évaluer aussi sa justesse en appréciant son biais éventuel. Le but de la validation ne sera pas ici, au moins dans un premier temps, de normaliser la méthode choisie pour en faire une méthode de référence mais de s'assurer que les données

55 3 Déterminer l’écart-type corrigé s des salaires (en milliers de dollars). A 1,4737 B 2,5737 C 3,6737 D 4,7737 E 4,8737 F 5,8737 G 6,9737 H 8,0737 4 Déterminer la limite inférieure d’un intervalle de confiance (à 95 %) pour le salaire moyen de la population. A B C D E F G H 34,242 40 42,879 45,758 48,637 49,662 51,516 54,395 5 Utiliser les données de l’échantillon pour estimer ce qu’aurait été l’écart-type de l’estimateur si on avait

croissance : On peut alors comparer les statistiques descriptives du taux d’intégration financière et du taux de croissance. IFI   taux de croissance   moyenne 2,09 moyenne 0,04 variance 3,23 variance 0,00 écart-type 1,80 écart-type 0,02 coefficient de variation 0,86 coefficient de variation 0,64 degré de symétrie 2,54 degré de symétrie 0,48 niveau d'aplatissement 7,09 niveau d'aplatissement 2,48 min 0,53 min -0,05 d1 0,84 d1 0,01 médiane