Triangle amoureux

+i e = 1 + i 3 eiθ = αeiθ 2 2 α αeiθ + α − 4 2 αeiθ + α − 4 = α 2 π 1 3 +i = ei 3 2 2 zG − 2 π zG − 2 AG − − → → = 1 ⇐⇒ AG = AF et Arg = AF ; AG = = zF − 2 AF zF − 2 3 π Nous sommes donc en présence d’un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure . C’est un triangle équilatéral. 3 4. AF 2 = 4 − 3cos θ + 3 sin θ. f : x → 4 − 3cos θ + 3sin θ sur [−π ; π]. Tableau de variations de f : − π 6 5π 6 4+2 3 4−2 3 7 x −π 7 π f π Le minimum de cette fonction f est atteint pour

la différence des aires est aussi petite que l’on veut. Dans son De la quadrature de la parabole, il établit par exemple la proposition suivante : « un segment quelconque compris par une droite et une parabole est égal à quatre fois le tiers d’un triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment. » Pour ce faire il est amené à travailler avec une suite géométrique de raison 1/4, dont il doit sommer les termes, en évitant toutefois la somme infinie et en se contentant de manipuler la suite

soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples ; - observer et décrire pour mener des investigations ;

de base Activité Représenter un triangle et son cercle circonscrit, constater que si le centre de ce cercle est sur un côté, alors l’angle opposé mesure 90°. Modes opératoires Créer le triangle : Menu Créer / Point / Point libre / Dans le plan Taper A B C et valider en cliquant sur le bouton  OK . Menu Créer / Ligne / Polygone / Polygone défini par ses sommets Pointer (en cliquant) chaque point puis nommer le triangle T et valider. Créer le cercle circonscrit

Montrer que le triangle ABC est rectangle. b. Ecrire un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par O et perpendiculaire au plan P. c. Soit K le projeté orthogonal de O sur P. Calculer la distance OK. d. Calculer le volume du tétraèdre OABC. 3. On considère dans cette question le système de points pondérés S = { ( O , 3 ) , ( A, 1 ) , ( B, 1 ) , ( C , 1 ) } . a. Vérifier que ce système admet un barycentre qu’on notera G. b. On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que

Pour cela, on exprime ces deux vecteurs en fonction des points de la figure de base, en utilisant les relations vectorielles de l’énoncé et la relation de Chasles. 2 c P.Brachet - www.xm1math.net Seconde - Vecteurs Exemple : Soit ABC un triangle quelconque (c’est la figure de base). On considère les points I, J et K tels que : → → 3− → − → 3− → → 1− − − BI = BC ; AJ = AB et AK = AC. 2 2 4 Il s’agit de démontrer que les points I, J et K sont alignés. A B J K C • Choix des deux vecteurs

distances de triangles. La première démonstration de ce théorème est attribuée à Euclide qui la présente dans ses Éléments, dans le Livre VI (Proposition 2) — il le démontre par proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale. Les historiens lui attribuent toutefois cinq théorèmes de géométrie élémentaire : Un cercle est partagé en deux parties égales par tout diamètre. Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Les angles opposés par le sommet sont égaux. Deux triangles sont égaux

La seule expression qui correspond est donc f (x) = – 2x + 1. a) La droite (IJ) passe par les milieux des côtés [BA] et [BD] du triangle BAD. Elle est donc parallèle au troisième côté de ABD. Donc (IJ) // (AD), les droites (IJ) et (BC) sont toutes deux parallèles à une même troisième. Donc (IJ) // (BC). b) La droite (IJ) passe par le milieu d’un des côtés du triangle BCD et est parallèle à un autre de ses côtés. Elle coupe le troisième côté de BCD en son milieu. • Énigme 1 Si on construit le

définis par des droites parallèles, alors ils sont égaux La somme des angles d'un triangle est égale à 180° Une médiane dans un triangle passe par un sommet et le milieu du côté opposé Le point de concours des médiatrices d'un triangle s'appelle le le centre du cercle circonscrit Si A et B sont symétriques par rapport à O, alors O est le milieu de [AB] b) Dire si les affirmations sont vraies ou fausses: Si un triangle est isocèle, alors il a 3 angles égaux Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires

ci-dessus, on ôte un carré. Avec le nouveau rectangle d'or, on réitère l'opération. On continue à l'infini. Puis dans chaque carré, on trace un quart de cercle dont le centre est un angle du carré et le rayon est le côté du carré.
 Le triangle d'or est un triangle isocèle tel que le rapport (longueur de la base)/ (longueur des autres côtés), ou le rapport inverse, vaut φ.
 L'ellipse d'or est une ellipse dont le grand axe et le petit axe ont des longueurs dont le rapport vaut φ. Ainsi, une ellipse