Théorème de la bijection

Georg Cantor Georg Cantor (1845 – 1918) est un mathématicien allemand principalement connu pour sa théorie des ensembles et les relations entre ceux-ci (bijection entre les ensemble). Il définit également les ensembles infinis et les ensembles « bien ordonnés ». Il s'intéresse aux concepts de limite et de continuité de fonctions, de courbes, indissociables de celui de nombre réel et d'un langage mathématique précis. Il définit les nombres cardinaux et les nombres ordinaux. Après parcours scolaire

D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire des valeurs intermédiaires), l’équation f′(x)=0 possède une unique solution x0.   4. a. On en déduit donc que : – sur [0;x0] ,f′(x)≤0 donc f est décroissante – sur [x0;+∞[, f′(x)≥0 donc f est croissante   f(0)=−2. Or f est décroissante sur [0,x0]. Par conséquent, pour tout x∈[0,x0], f(x)0   Sur l’intervalle [x0;+∞[, f est continue et strictement croissante. f(x0)0. 0∈[f(x0);f(2)] D’après le théorème de la bijection (ou corollaire

BAC Se Expérimentales Hr S«i*ISSI SEHM • 23.f2.t2.I2 L -J THEOREME DE LA BIJECTION Si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I alors: • f est une bijection de l'intervalle I sur f ( I ). • la fonction réciproque f ~' de fa le même sens de variation que f. Si de plus, la fonction f est continue sur I, alors la fonction réciproque f ~' de f, est une bijection continue de l'intervalle J = f ( I ) sur I. Remarque : pour tout x e / et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 9 10 10 11 13 17 17 17 19 20 22 22 23 23 24 25 25 26 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.3 Axiomes Raisonnements 1.3.1 1.3.2 1.4 Quelques théorèmes d’arithmétique Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Connecteurs logiques . . Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raisonnements primaires

TD14 : COMPLÉMENTS SUR LA DÉRIVATION :::::::: Objectifs ::: du ::: TD :: : • Justifier la dérivabilité d’une fonction en un point • Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence • Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée) • Manipuler la fonction arc tangente Exercice no 1 Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) = |x| x ln (1− |x|) 1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 2) Prouver que f est

réalise une bijection de U sur V . On vérifie aisément que U et V sont des ouverts (par image réciproque d’ouverts par des applications continues pertinemment construites) et que ϕ ainsi que ϕ−1 sont de classe C 1 .     u = x + 1 cos(y)  x + 1 cos v − 1 cos(x)   2 2 2 ϕ(x, y) = (u, v) ⇔ ⇔ 1   1  v = y + cos(x)   y = v − cos(x) 2 2 Considérons fv : x → x + =u 1 1 cos v − cos(x) 2 2 Une étude fonctionnelle montre que fv réalise une bijection strictement

entiers : P : ∀ n, ∃ m, m = n2 est vrai Q : ∀ n, ∃ m, n = m2 est faux Etant donné une proposition, le travail du mathématicien consiste à déterminer si elle est vraie ou fausse. S'il arrive à démontrer qu'elle est vraie, cette proposition est un théorème. On est amené à regrouper diverses propositions de la façon suivante : a) la conjonction : "P et Q" est une proposition qui sera vraie si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément vraies. b) la dijonction : "P ou Q" est une

FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTIONS LOGARITHMES 1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La

x 1 + 0 +∞ variation de la fonction ln • ainsi, nous en déduisons également le signe de la fonction ln : ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ln x = 0 ⇔ x = 1 ln x > 0 ⇔ x > 1 • la fonction ln étant strictement croissante et continue, elle réalise une bijection de ]0 +∞[ sur l'intervalle image (que nous préciserons ultérieurement). On en déduit que pour tous réels a et b de ]0 ; + ∞[, on a : • ln a = ln b ⇔ a = b • ln a < ln b ⇔ a < b En effet, si a = b alors il est clair que ln a = ln b. Pour la

+ b Application à la représentation graphique des fonctions polynômes du second degré et de quelques fonctions homographiques. 2) Eléments de symétrie de la courbe représentative d'une fonction 3) Représentation graphique de la réciproque d'une bijection • • Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 41 Contenus Commentaires CompŽtences exigibles II. LIMITES On ne fera pas de théorie. Les explications resteront à un niveau intuitif. L'introduction