[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 4 novembre 2013

Enoncés

1

Difféomorphisme
Exercice 1 [ 00053 ] [correction]
Montrer que (u, v) → (u + v, uv) définit un C 1 -difféomorphisme de
U = (u, v) ∈ R2 /u < v vers un ouvert V que l’on précisera.

Exercice 2
Montrer que

[ 00054 ]

[correction]

1
1
cos y, y + cos x)
2
2
1
2 est un C -difféomorphisme de R sur lui-même. ϕ : (x, y) → (x +

Exercice 3 X MP - Mines-Ponts MP [ 02908 ] [correction]
Soient k ∈ ]0, 1[ et f ∈ C 1 (R, R) telle que
∀x ∈ R, |f (x)|

k

On définit une application ϕ : R2 → R2 par ϕ(x, y) = (y + f (x), x + f (y))
Montrer que ϕ est un C 1 -difféomorphisme de R2 dans lui-même.

Exercice 4 [ 01328 ] [correction]
On munit Rn de sa structure euclidienne canonique et on considère f : R+ → R de classe C 1 , croissante vérifiant f (0) = 1 et f (0) = 0.
On pose
F (x) = f ( x ) x
a) Montrer que N : x → x est C 1 sur Rn \ {0} et exprimer sa différentielle.
b) Montrer que F est de classe C 1 sur Rn et déterminer sa différentielle.
c) Montrer que
∀(x, h) ∈ Rn × Rn , ( dF (x)(h) | h)

f( x ) h

2

d) Montrer que F est un difféomorphisme de Rn vers Rn .

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Corrections

Corrections

2

Soit (u, v) ∈ R2 :

Exercice 1 : [énoncé]
L’application ϕ : (u, v) → (u + v, uv) est de classe C 1 de U vers R2 .
Soit (s, p) ∈ R2
Si (s, p) = ϕ(u, v) alors u et v sont les deux racines de x2 − sx + p = 0 et donc
∆ = s2 − 4p > 0.
Les valeurs prises par ϕ appartiennent à
V = (s, p) ∈ R2 /s2 − 4p > 0
De plus, pour (s, p) ∈ V , il existe un unique couple (u, v) tel que u < v et ϕ(u, v) = (s, p), c’est le couple formé des deux racines de l’équation x2 − sx + p = 0 u= s−

s2 − 4p s+ et v =
2

s2 − 4p
2

Ainsi ϕ réalise une bijection de U sur V .
On vérifie aisément que U et V sont des ouverts (par image réciproque d’ouverts par des