Tenseur des contraintes

Travaux Dirig´s de e M´canique des Solides D´formables e e Maˆtrise/Master de M´canique ı e L. Champaney 10 d´cembre 2003 e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Principe des Puissances Virtuelles Tenseur des Contraintes Cercles de Mohr D´formations e Elasticit´ Lin´aire e e R´solution d’un probl`me d’Elasticit´ Lin´aire e e e e Solutions de St Venant Thermo´lasticit´ lin´aire e e e Probl`mes Plans e M´thodes Energ´tiques : Approximation de Solution e e M´thodes Energ´tiques : Th´or`me

.......................................................................................... 11 Déformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13 Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13 Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale ........................................

Variables effectives : Le principe d’équivalence en énergie totale conduit aux définitions générales suivantes : [pic] [pic] [pic] où [pic]et[pic] sont les opérateur d’effet du dommage sur la contrainte Cauchy et sur l’écrouissage cinématique respectivement. Et [pic] est une norme appropriée du tenseur d’endommagement. Il est commode, dans le cadre de l’hypothèse d’équivalence en énergie total [SAA94], de prendre :[pic] II-2- Couplage élastoplasticité isotrope endommagement isotrope :

............................................ 7 CHAPITRE II - TENSEUR DES CONTRAINTES ........................................................... 12 1 – Notion d’effort intérieur, contrainte autour d’un point ............................................... 12 1 - 1 – Efforts intérieurs......................................................................................................... 12 1 - 2 – Vecteur d’effort local, contrainte autour d’un point............................................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Transport lagrangien d’un petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation lagrangienne d’un produit scalaire : tenseur des d´eformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 2.1.5

Chaussées 1. 1.1 1.2 1.3 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Définition et état de contrainte d’un voile mince .......................... Membranes et coques................................................................................. État de contrainte d’un voile mince fléchi (coque) ................................... État de contrainte d’un voile mince sans flexion (membrane) ................ Théorie de la membrane pour les voiles minces de forme quelconque

nombre d’inconnues dans un probl`eme de m´ecanique des milieux continus est ´egal `a 15. En effet, l’objectif est de d´eterminer en chaque point du solide le vec→ teur d´eplacement − u (trois composantes), le tenseur des d´eformations (six composantes ind´ependantes) et le tenseur des contraintes σ (six composantes ind´ependantes). Pour r´esoudre un tel probl`eme, nous devons donc disposer de 15 ´equations. Ces ´equations sont les trois ´equations d’´equilibre : −→ → − div(σ) + f v = 0 (1) les six

4 3 Les 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 déformations Déformations et directions principales Équations de compatibilité . . . . . . Mesure de déformation . . . . . . . . . Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . contraintes Vecteur contrainte . . . . Tenseur des contraintes . Déviateur des contraintes Équation d’équilibre . . . Conditions aux limites . . Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Question 4 Le tenseur des contraintes de Piola est donné par la loi de comportement élastique : La liaison interne est l’isochorie, on a donc : soit, . On a donc finalement : . D’après les formules de dérivations des invariants (p 380), on en déduit l’expression du tenseur des contraintes de Piola : La relation entre le tenseur des contraintes de Cauchy et le tenseur des contraintes de Piola étant : , on en déduit (par multiplication) l’expression du tenseur des contraintes de Cauchy :

Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols Objectifs de ce chapitre • Représenter les états de contraintes dans les sols • Étudier la résistance au cisaillement des sols à partir d'essais en laboratoire • Évaluer le comportement des sols à court et long terme Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols 1- Notions élémentaires sur la rupture des sols 2- Rappels sur les contraintes - conventions 3- Cercle de Mohr-Coulomb et conséquences 4- Mesure au laboratoire des caractéristiques de