Système complexe

février 2011 2 Table des matières I I Le plan complexe et les nombres complexes L’ensemble A B C II A B C III 7 8 8 9 9 C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition et multiplication des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

isométrie f est un antidéplacement la droite (∆ ) d’équation 2x + 3y – 5 + 0 a pour image par f, la droite (∆ ' ) : -x + 4y + 5 = 0 f est une symétrie orthogonale d’axe (D) f n’admet pas de points invariants Exercice 7 Soit (C) la courbe plane dont un système d’équations paramétriques est : X(t) = 6acost Y(t) = a(t+2sint) (t élément de IR) a) les points M (t ) et M (t + 2π ) se correspondent dans une rotation b) les points M (t ) et M (t + 2π ) se correspondent dans une homothétie c) les points M (t )

valeur de Z U pour laquelle la puissance active fournie est maximale. Nous notons : Z g = Rg + j X g B R S = 43, 3 V et R P = 86, 6 V A On détermine ainsi les valeurs des résistances d’adaptation : En utilisant la notation complexe, la puissance complexe fournie par le générateur est : avec u = ZU · i et i= Eg Eg = ZU + Z g RU + Rg + j X U + X g Z · i · i∗ = 2 2 E 2g 2 + XU + X g 2 (RU + j X U ) M RU + Rg RU + Rg 2 + XU + X g 2 ·

 psychique  basée  sur  la  toute  puissance  qui   tourne  autour  de  la  jouissance  tourne  autour  de  la  souffrance  de  l’autre.     C’est  à  dire  que  dans  le  système  pervers,  sa  seule  chose  qui  compte  c’est  «  lui  »,  tout   viens  servir  à  son  pouvoir,  à  sa  séduction  et  à  sa  pulsion  d’emprise.     Son  mécanisme

moins succinte allant de la simple réponse au calcul demandé à une rédaction complète pour les questions non immédiates. Michel Quercia Table des matières I Algèbre générale 1 Applications 2 Coefficients du binôme 3 Ensembles finis 4 Nombres complexes 5 Opérations 6 Groupes 7 Anneaux 8 Relations d’équivalence 9 Relations d’ordre 10 Propriétés de N 11 Propriétés de R 12 Suites récurrentes linéaires 13 Permutations 6 6 8 10 12 16 16 21 25 27 29 30 31 32 II Arithmétique 34 34 36 37

RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule intégrale, facilement maniable pour l’analyste. Par la suite, sa théorie a été développée selon deux axes différents :

Scientifique Lycée René Cassin, Gonesse (Val d’Oise, France métropolitaine) Correction Bac Blanc Ma sht ths aM TS1&2&3 Obligatoire & Spécialité n o i c t c e lan r r Co ac B B Exercice 1. Commun à tous les candidats Polynésie juin 2006 Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O, → u, → v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre

BAC S 2003 MATHÉMATIQUES - ÉNONCÉ Exercice 1 (4 points) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u , v ) (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2, b = 1 − i et c = 1 + i. → → 1. a. Placer les points A, B et C sur une figure. b. Calculer c−a . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. b−a 2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r(B) = C. Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D = r(C)

Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 1 1 3 4 5 5. Dérivation Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 55 55 58 62 63 2. Les nombres complexes Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 9 9 12 16 17 6. Intégration Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 75 75 77 81 83 3. Suites numériques

d’algèbre linéaire (PTSI) – 2014/2015 « En mathématiques, la manière de poser la question est plus importante que la façon de la résoudre » Georg Cantor (1867) Table des matières A Systèmes d’équations linéaires I Définitions et vocabulaire . . . . . . . . II Opérations élémentaires sur les lignes III Résolution d’un système linéaire . . . . IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Matrices I Matrices, opérations sur les matrices II Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . III Rang d’une